102二重积分的计算法一.ppt

102二重积分的计算法一
几点小结
定限口诀
后积先定限(投影)
限内划条线(穿线)
先交下限写
后交上限见
a
b
o
x
y
D
x
(后积变量上下限必为常数)
该线平行于坐标轴且同向
投影穿线法102二重积分的计算法一
几点小结
定限口诀
后积先定限(投影)
限内划条线(穿线)
先交下限写
后交上限见
a
b
o
x
y
D
x
(后积变量上下限必为常数)
该线平行于坐标轴且同向
投影穿线法
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3.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
公式2
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(1) 使用公式1必须是X－型域，
公式2必须是Y－型域.
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
(见后续补充例题)
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域（或Y-型域）
[说明]
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4. 【例题部分】
例1
解Ⅰ
看作X－型域
1
2
o
x
y
y = x
y =1
D
x
1
2
o
x
y
x = y
x=2
D
y
1
2
解Ⅱ
看作Y－型域
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例2
解
D 既是X—型域又是—Y型域
法1
－1
1
1
x
o
y=x
D
x
y
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法2
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
－1
1
1
y
o
y=x
D
－1
x
y
注意两种积分次序的计算效果！
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例3
解
D既是X—型域
又是Y—型域
先求交点
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法1
法2
视为X—型域
计算较繁
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
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小结
以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)
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5.【简单应用】
例4
求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.
解
设两个直圆柱方程为
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为
则所求体积为
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例5
解
据二重积分的性质4（几何意义）
交点
与定积分元素法相同
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6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题
补例1
解
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随堂练习

其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y2 = x 所围成.
解
积不出的积分，无法计算。
课本P154 第5题第6题
练习
20
解
当被积函数中有绝对值时，要考虑
积分域中不同范围脱去绝对值符号。
分析
补例2
作业:－1  x  1
21
计算
其中D 由
所围成.
令
(如图所示)
显然,
利用对称性与奇偶性
补例3
分析
解
课本P154 第3 题
与积分变量无关
补例4
与积分变量无关
与积分变量无关
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分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷)
化为二次积分,交换积分次序
原式=
原式
补例5
解Ⅰ
解Ⅱ
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演讲完毕