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107斯托克斯公式
由NordriDesign提供

例2.  为柱面
与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算
解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆107斯托克斯公式
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例2.  为柱面
与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算
解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域 ,
且取下侧,
利用斯托克斯公式得
则其法线方向余弦
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2.
设 G 是空间一维单连通域,
具有连续一阶偏导数,
则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使
(4) 在G内处处有
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证:
由斯托克斯公式可知结论成立;
(自证)
设函数
则
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同理可证
故有
若(3)成立, 则必有
因P, Q, R 一阶偏导数连续,
故有
同理
证毕
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与路径无关, 并求函数
解: 令
 积分与路径无关,
因此
例3. 验证曲线积分
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三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
设曲面  的法向量为
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
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令
, 引进一个向量
记作
向量 rot A 称为向量场 A 的
称为向量场A
定义:
沿有向闭曲线 的环流量.
或
①
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
旋度 .
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rotation
设某刚体绕定轴 l 转动,
M为刚体上任一
点,
建立坐标系如图,
则
角速度为 ,
点 M 的线速度为
(此即“旋度”一词的来源)
旋度的力学意义:
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向量场 A 产生的旋度场
穿过  的通量
注意  与  的方向形成右手系!
为向量场 A 沿
的环流量
斯托克斯公式①的物理意义:
例4.
求电场强度
的旋度 .
解:
(除原点外)
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
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的外法向量,
计算
解:
例5. 设
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*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
则
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则
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
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内容小结
1. 斯托克斯公式
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在内与路径无关
在内处处有
在内处处有
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件
设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则
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3. 场论中的三个重要概念
设
梯度:
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散度:
旋度:
则
思考与练习
则
提示:
三式相加即得
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作业
P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ; 6
补充题: 证明
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