183几何应用.ppt

183几何应用
例3 用数学软件画出曲线
的图象；并求该曲线在点
处的
切线与法线.
解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y;
ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],183几何应用
例3 用数学软件画出曲线
的图象；并求该曲线在点
处的
切线与法线.
解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y;
ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
就立即得到曲线 L 的图象 (见本例图18－6).
图 18－6
令 容易求出:
由此得到 L 在点 处的切线与法线分别为：
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指
令, 便可画出上述切线与法线的图象.
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2;
ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));
ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
例3 设一般二次曲线为
试证 L 在点 处的切线方程为
证
由此得到所求切线为
利用 满足曲线 L 的方程, 即
整理后便得到
. 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线C的参数方程为
1. 曲线由参数式给出:
解 容易求得 故切向向量为
例 4 求空间曲线
在点 处的切线和法平面.
由此得到切线方程和法平面方程分别为
syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2);
ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:
图 18－8
解
切线方程
法平面方程
空间曲线方程为
法平面方程为
特殊地：

切线方程为
法平面方程为
例5 求曲线
在点 处的切线与法平面.
解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令
根据公式 (5) 与 (6), 需先求出切向向量. 为此计算
F, G 在点 处的雅可比矩阵:
由此得到所需的雅可比行列式:
故切向向量为
据此求得
所求切线方程为
法平面方程为
. 曲面的切平面与法线
答案: 切平面方程为
法线方程为
P115.(13)(14),
化简即得.
解
切平面方程为
法线方程为
解
令
切平面方程
法线方程
解
设 为曲面上的切点,
切平面方程为
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
因为 是曲面上的切点，
所求切点为
满足方程
切平面方程(1)
切平面方程(2)
合作愉快