33函数单调性与极值.ppt

33函数单调性与极值
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确定某个函数单调性的一般步骤是：
（1）确定函数的定义域。
这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。
（3）确定
在各个子区间内的符号，从而判断
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例3
证明33函数单调性与极值
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确定某个函数单调性的一般步骤是：
（1）确定函数的定义域。
这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。
（3）确定
在各个子区间内的符号，从而判断
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例3
证明不等式
证
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（2）设
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函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
二、函数极值的定义
定义
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极值是局部区域上的最大或最值；
在间断点或端点处不考虑极值。
三、函数极值的求法
定理2(必要条件)
定义
注意:
例如,
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定理3(第一充分条件)
(是极值点情形)
(不是极值点情形)
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(2)
如果
),
,
(
0
0
x
x
x
d
-
Î
有
;
0
)
(
'
<
x
f
而
)
,
(
0
0
d
+
Î
x
x
x
有
0
)
(
'
>
x
f
，则
)
(
x
f
在
0
x
处取得极小值
.
(3)
如果当
)
,
(
0
0
x
x
x
d
-
Î
及
)
,
(
0
0
d
+
Î
x
x
x
时
,
)
(
'
x
f
符号相同
,
则
)
(
x
f
在
0
x
处无极值
.
(1)
如果
),
,
(
0
0
x
x
x
d
-
Î
有
;
0
)
(
'
>
x
f
而
)
,
(
0
0
d
+
Î
x
x
x
,
有
0
)
(
'
<
x
f
，则
)
(
x
f
在
处取得极大值
.
0
x
运用定理3求函数极值的一般步骤是：
（1）确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不
存在的点；
（2）考虑上述点两侧导数的符号，确定极值点；
（3）求出函数极值点处的函数值，得到极值。
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例4
解
列表讨论
极大值
极小值
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例5
解
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
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定理4(第二充分条件)
证
同理，可证（2）
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运用定理4求函数极值的一般步骤是：
（1）确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；
（3）求出极值点处的函数值，得到极值。
（2）考虑函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；
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例6
解
（2）因为
所以有
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（3）计算极值：
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