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62几何应用47789
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
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一拱
的弧长 .
解:
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例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
(P349 公式39)
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三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
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上连续,
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时,
有
当考虑连续曲线段
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
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例13. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
解: 方法1 利用直角坐标方程
则
(利用对称性)
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方法2 利用椭圆参数方程
则
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
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例14. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
利用对称性
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绕 y 轴旋转而成的体积为
注意上下限 !
注
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柱壳体积
说明:
柱面面积
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偶函数
奇函数
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例15. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,
证明:
证:
利用柱壳法
则
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故
例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,
并
与底面交成  角,
解: 如图所示取坐标系,
则圆的方程为
垂直于x 轴 的截面是直角三角形,
其面积为
利用对称性
计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
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垂直 x 轴的截面是椭圆
例17. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
解:
它的面积为
因此椭球体体积为
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
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的体积.
例18. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积.
(94 考研)
解: 利用对称性 ,
故旋转体体积为
在第一象限
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四、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
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侧面积元素
的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程
给出,
则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的
不是薄片侧面积△S 的
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注意:
侧面积为
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
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例20. 求由星形线
一周所得的旋转体的表面积 S .
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
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内容小结
1. 平面图形的面积
边界方程
参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
上下限按顺时针方向确定
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
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3. 已知平行截面面面积函数的立体体