8.1高等数学课件.ppt

二．多元函数概念
设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变
量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y
的二元函数(或点P的函数)，记为
z=f(x，y)(或z=f(P偏导数、
关于二阶混合偏导数的定理
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义：
设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，
当y 固定
在y0 而x 在x0 处有增量x 时，
相应地函数有增量
f (x0x，y0)f(x0，y0) ，
如果极限
存在，
记作
则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对x 的偏导数，
或 f x(x0，y0)．
，
，
，
类似地， 函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导数定义为
记作
或 f y(x0，y0)．
，
，
对自变量的偏导函数，记作
偏导函数：
如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x 的偏导数都
存在，
那么这个偏导数就是x 、y 的函数，
它就称为函数zf(x，y)
或 f x(x，y)．
，
，
z x ，
或 f y(x，y)．
类似地， 可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导函数，
记为
，
，
z y ，
偏导数与导数的关系：
f x(x0，y0)
f y(x0，y0)
=[ f (x，y0)]
．
．
= [f (x0，y)]
偏导数与偏导函数的关系：
f x(x0，y0)
f y(x0，y0)
= f x(x，y)
．
．
= f y(x，y)
3·12·27 ．
例1 求zx23x yy2在点(1，2)处的偏导数．
解
2x3y ，
3y2y ．
2·13·28，
2x sin 2y ，
例2 求zx2 sin 2y的偏导数．
解
2x2 cos 2y ．
x yx y 2z ．
解
y x y1，
x yln x ．
解
，
．
；
证
p 
，
因为
V 
，
；
T 
，
所以
1．
．
二元函数zf(x，y)在点(x0，y0)的偏导数的几何意义：
x
y
z
O
x0
y0
zf(x，y0)
zf(x0，y)
M0
Tx
Ty
证函数在该点连续．
偏导数与连续性：
对于多元函数来说，
即使各偏导数在某点都存在，
也不能保
例如
不连续．
f(x，y)
在点(0，0)有， f x(0，0)0 ，f y(0，0)0．
但函数在点(0，0)点并
二． 高阶偏导数
按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数
二阶偏导数：
设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数
f x(x，y)，
f y(x，y).，
那么在D 内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y 的函数．
如果这两个函数
的偏导数也存在，
则称它们是函数zf(x，y)的二偏导数．
f y y (x，y) ．
f x x (x，y) ，
f x y (x，y)，
f y x (x，y) ，
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．
f x y (x，y)，
f y x (x，y) ，
其中
称为混合偏导数．
同样可得三阶、四阶以及n 阶偏导数．
类似在可定义二元以上函数的高阶偏导数．
6x2 y9y21；
解
3x2 y23y3y ，
2x3 y9x y2x ；
6x y2 ，
6y2 ．
6x2 y9y21，
2x318x y；
则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
定理 如果函数zf(x，y)的两个二阶混合偏导数 及
在区域D内连续，
 ln(x2y2)，
证
因为
所以
，
，
，
，
=0．
其中 ．
例8 证明函数 满足方程   0 ，
证
，
，
=0．
§8．3全微分及其应用
一、全微分的定义
二* 、全微分在近似计算中的应用
偏增量与偏微分、全增量
全微分的定义、
可微与连续
可微的必要条件、可微的充分条件
叠加