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ch3-4泰勒公式
称 为函数 在点
处的nch3-4泰勒公式
称 为函数 在点
处的n阶泰勒公式.
也是用n次多项式来近似函数
的截断误差.
余项
为
佩亚诺型余项,
拉格朗日形式的余项
皮亚诺形式的余项
证明:
注意:
，皮亚诺型余项主要用于求极限.
麦克劳林(Maclaurin)公式
二、几个常用的 n 阶泰勒公式 ( 在 x0 = 0 处 )
(1) f (x) = sinx
取 n = 2m , 则有
其中 ξ介于 0 与 x 之间
(2) f (x) = cosx
取 n = 2m+1 , 则有
其中 ξ介于 0 与 x 之间
(3) f (x) = e x
其中 ξ介于 0 与 x 之间
(4) f (x) = ln(1+x)
其中 ξ介于 0 与 x 之间
(5) f (x) = (1+x)α , αR
所以有
其中 ξ介于 0 与 x 之间
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
带佩亚诺型余项的泰勒公式
解：
三、泰勒公式的应用

例1 求下列函数的极限
（1）
解：（1）原式
（2）
解（2）原式
（3）
解（3）原式
例
计算
解
因为
(2) 在无穷小阶的估计中的应用
例
当 a , b 为何值时 , 量 x  (a + b cosx)sinx 是 x 的
5 阶无穷小?
解
为使之为 5 阶无穷小 , 充要条件是:
解得:
所以当 时 ,
原式为 5 阶的无穷小
例
试确定常数 a 和 b , 使当 x  0 时
为 x 尽可能高的无穷小 , 并求此阶数
解
又
解得
所以 , 当 时, 函数 f (x)为 7 阶的
无穷小
(3) 在近似计算中的应用
其中 ξ介于 x0 与 x 之间 .
例
计算 e 的值 , 准确到 10-6
解
先确定 n 为多大时才能保证精度 .
令 x =1 得
(ξ介于 0 与 1之间)
n 阶泰勒公式 , 有
利用 ex 的
取 n =10 , 则有
(4) 在一些证明题中的应用
例
如果在 ( a , b ) 内
证明: 对 (a , b)内
的任意 n 个点
有不等式
证明
令
则对每一 xi , 利用泰勒公式有
由 推得
所以 ,得到
常用不等式
例
设 f (x) 在 [ 0 , 1 ] 上二阶可导 , 且满足
其中 a , b 为非负常数 , 证明: 对任意
c( 0 , 1 ) 有
解
任取c( 0 , 1 ) ,
利用泰勒公式有
其中ξ介于 c 与 x 之间 .
分别令 x =0 , x =1 , 得
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