计算方法插值法演示.ppt

（优选）计算方法插值法课件
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第一页，共一百一十四页。
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Chapter2
插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多样的,有下面两种情况：
（1）由实验
插值法
拉格朗日插值
例 给定f(x)的函数表，求f(x)的次数不超过3的插值多项式。
x -1 1 2 5
y -7 7 -4 35
解：设
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2
即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
！
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Chapter2
插值法
拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
问题的提法：
已知函数y=f(x)的函数表
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x
满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。
x xk xk+1
y yk yk+1
分析:过两点(xk,yk),(xk+1,yk+1)作直线y=L1(x)——线性插值
解:由点斜式方程
称为线性插值基函数,而L1(x)是它们的线性组合。
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Chapter2
插值法
拉格朗日插值
L1(X)
L1(X)
∴ ≈L1 ()=
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拉格朗日插值
Chapter2
插值法
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x)进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替曲线y=f(x)。
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线性插值的误差很大。
为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线，所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
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拉格朗日插值
Chapter2
插值法
问题的提法：
已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节点，求一个次数不超过2的多项式L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式) 使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。
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拉格朗日插值
Chapter2
插值法
求二次多项式l0(x)： l0(x0)=1, l0(x1)=0 ,l0(x2)=0
<=> l0(x) =C(x-x1)(x-x2) 只须求C=?
由l0(x0)=1 得C(x0-x1)(x0-x2)=1
∴ C=1/(x0-x1)(x0-x2)
同理求得l1(x), l2(x) ,即抛物插值的插值基函数如下:
抛物插值问题的解:
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拉格朗日插值
Chapter2
插值法
2-3 拉格朗日插值多项式
已知y=f(x)在两两互异节点x0,x1,…,xn的函数值y1,y2,…,yn, 求n次多项式Ln(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
满足插值条件Ln(xi)=yi. i=0,1,2,3,…,n。
基函数法：求n+1个n次多项式l0(x),l1(x),…,ln(x) 使 Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)。
Ln(x)须满足插值条件 Ln(xi)=yi i=0,1,2,3,…,n
即y0l0(xi)+y1l1(xi)+…+yili(xi) …+ynln(xi) = yi
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拉格朗日插值
Chapter2
插值法
∵ li(x0)=0,…,li(xi-1)=0,li(xi+1)=0,…,li(xn)=0
即li(x)有n个零点，x0,x1,…,xk-1,xk+1,…,xn。
求插值基函数li(x)
与节点有关，而与f无关
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拉格朗日插值
Chapter2
插值法
于是，满足插值条件Ln(xi)=yi. i=0,1,2,3,…,