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D51定积分
二、定积分定义 ( P225 )
任一种分法
任取
总趋于确定的极限 I ,
则称此极限 I 为函数
在区间
上的定积分,
即
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
记作
机动D51定积分
二、定积分定义 ( P225 )
任一种分法
任取
总趋于确定的极限 I ,
则称此极限 I 为函数
在区间
上的定积分,
即
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
记作
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积分上限
积分下限
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,
而与积分
变量用什么字母表示无关 ,
即
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定积分的几何意义:
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
各部分面积的代数和
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定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
可积的充分条件:
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解:
将 [0,1] n 等分, 分点为
取
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注
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例2. 用定积分表示下列极限:
解:
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说明:
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根据定积
分定义可得如下近似计算方法:
将 [a , b] 分成 n 等份:
(左矩形公式)
(右矩形公式)
(梯形公式)
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森
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公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
证:
= 右端
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证: 当
时,
因
在
上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
于是
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当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
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6. 若在 [a , b] 上
则
证:
推论1. 若在 [a , b] 上
则
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推论2.
证:
即
7. 设
则
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例3. 试证:
证: 设
则在
上 , 有
即
故
即
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8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
证:
则由性质7 可得
根据闭区间上连续函数介值定理,
使
因此定理成立.
性质7 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
可把
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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积分中值定理对
因
例4.
计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均
速度.
解: 已知自由落体速度为
故所求平均速度
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内容小结
1. 定积分的定义
— 乘积和式的极限
2. 定积分的性质
3. 积分中值定理
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矩形公式
梯形公式
连续函数在区间上的平均值公式
近似计算
思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
解:
或
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思考:
如何用定积分表示下述极限
提示:
极限为 0 !
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2. P233 题3
3. P233 题8 (2) , (4)
题8(4) 解:
设
则
即
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谢谢！