二重积分的计算法.ppt

二重积分的计算法80863
例2 计算 ，其中D是由抛物线
及直线 所围成的区域 。
解 把D看作Y型域
则
把D看作X型域
由于二重积分的计算法80863
例2 计算 ，其中D是由抛物线
及直线 所围成的区域 。
解 把D看作Y型域
则
把D看作X型域
由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域 和
它们分别用以下不等式表示：
例3 求
若Y型
D
解 X型
则积分较繁。
例4 求 所围成。
分析 若先 后 积分，则 无法积分。
例5 交换二次积分的顺序
分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定
积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给
的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新
确立积分限，得到二次积分。
解 将所给积分限还原成D的图形，由
知D是由y=x，y=2－x，y=0三条直线所围成，
于是按Y型域定限
其中
例6 交换二次积分的顺序
故D是由
所围成的， 于是
解
故D是由
所围成的， 于是
证 由等式左边，得
改变积分顺序，得
左边 右边
所以，
左边 右边
所以，
二 极坐标计算二重积分
极坐标是由极点和极轴组成，坐标 ，其中r为点p到极点o的距离， 为or到op的夹角。

r =常数；（从o出发的同心圆）
=常数；（射线）
直角坐标与极坐标的关系为：
面积元素为（矩形）
由直角坐标和极坐标的对应关系，得到
二重积分在极坐标下的形式
其中
底
高
弧长
于是得到极坐标下，
二重积分化为二次积分的公式：
若积分区域 D：
或写作
若极点在D的内部
则D可以用不等式 ， 表示，
这时有
解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：
于是
例9 计算 ，其中D是以原点为圆心，半
径为 的圆域。
解 D可以表示成
问题
本题为何不用直角坐标计算？
如何计算广义积分
解 用极坐标，
例11 计算 其中D为
和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。
解 将 化为 ，
可见D是一个半圆域。
所以D可表示为
圆的方程表示成极坐标形式：
于是，利用极坐标得：
几何意义是球面 ,圆柱面
练习
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