图灵不稳定性及斑图形成.docx

Turing不稳定性及斑图形成
摘要：在这篇文中，我们借助于浮游植物-，给出了详细的过程，，我们总假设条件（3）、（4）成立，也即式（5）（2）,做与上述相同的平移变换，并把新的变量P,Q仍记为P,Q,这里的
P,Q表小模型（2）：
泞
(6)
—=JiFJ12QD1P
—=j21Pj22qd2g
.：:t
又因为模型（6）的任意解都可以展开成下述的Fourier级数:
「88
P(r,t)=£%(r,t户工«0(tJsinkri,j=0i,j=0
800
Qr,t―Vjr,t八：」tcoskr
i,jfi,j印
这里向量r=(xy,且0<x<L*0<y<Ly向量k=(R,kj),且
K=in/Lxkj=jnLy,K,kj称为波数.
把(7)式带入(6)式可得：
二？ij
二!
Ft
-J11-D1kPij'J12-ij
-J21工ijJ22-D2k-ij
(8)
其中k2=k；+kj2,这里是因为
△sinkr=；：sinkixkjy
22
--kisinkixkjy-kjsinkixkjy
2
--ksinkr
模型(8)是一个常系数微分方程组，其解的形式为gJ#+c2e£t,其中g,C2为常数，是由初始条件所确定.%,%是其系数矩阵J1的特征值
J11—D1kJ127c\
J1=|2\9/
J21J22—D2k
求得此系数矩阵的行列式、迹分别为：42
det(J1)—D1D2k-(J11D2J22D1)k+(JnJ22—J12J21)(10)
trJ1=一D1D2k2J11J22(11)
为了研究是由于扩散发生的不稳定，系数矩阵的特征值",%至少有一个是
具有正实部，也就说条件det(J1)>0,tr(J1)<
(3)、(4)恒成立,可知J11+J22M0何成立,所以得到tr(JJ<0恒成立,所以要使Turing不稳定发生，存在一个参数空间使得det(J)<0成立.
令_2__4__2
G(k)=DQ2k—(J11D2+J22D1)k+G11J22-J12J21)(12)
这是一个关于未知数k2的一元二次函数，由条件(3)知J1J22-J12J21>0成立.
显然，G(k2/0在k2w(0,z)成立的必要条件是
J11D2+J22D1>0(13)
在条彳(13)成立的前提下，要使G(k2)<0成立，即要求G(k2)=0有两个
实根，则必须满足系数判别式:
2
（J11D2+J22D1）>4D1D2（J11J22—J12J21）（14）
2在满足条件（13）,（14）,函数（12）将会存在两个正的实根k2,k,当满足
22—2..2
k<k<k（15）时，有G（k）<0,即模型（8）的系数矩阵的特征值及J」至少有一个是具有正实部，则模型（2）的平衡点E是不稳定的，此时平衡点E的不稳定性是由于扩散项△算子的特征值也成波数的k所引起的，所以称（15）