函数的单调性.ppt

函数的单调性85829
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
如函数的单调性85829
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
某个区间D
某个区间D
任意
任意
x
o
y
y=f(x)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
o
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
x1、x2的三大特征：
①属于同一区间
②任意性
③有大小: 通常规定 x1＜x2
在(-∞,0)上是____函数
在(0,+∞)上是____函数
减
减
问:能否说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
反比例函数 ：
-2
y
O
x
-1
1
-1
1
2
在(-∞,0)上是____函数
在(0,+∞)上是____函数
减
减
函数 ：
y
O
x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) f(x2)
>
y
O
x
-1
1
-1
1
取自变量－1< 1，
而 f(－1) f(1)
因为 x1、x2 不具有任意性.
∴不能说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
<
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.
x
o
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
逗号
隔开
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
-4
3
2
1
5
4
3
1
2
-1
-2
-1
-5
-3
-2
x
y
O
y
x
o
y
Y=2x+1
x
o
Y=(x-1)2-1
1
2
-1
y
x
y =x3
o
y
O
x
增区间为
增区间为
增区间为
减区间为
减区间为
练习：
写出函数的单调区间
证明函数　　　 在R上是减函数.
即
∵
∴
∴
判断差符号
：
证明：设 是R上任意两个值，且 ，
∴函数
在R上是减函数．
设值
作差变形
下结论
则
骤
:由定义得出函数的单调性.
:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；
:确定f(x1)-f(x2)的正负；
证明函数单调性的步骤：
结
课堂练习
证明函数　 (k为负的常数)
在区间（0,+∞）上是增函数.
结
证明函数　 在区间(0,+∞)上是增函数
证:设 是(0,+∞)上任意两个值且
∴
即
∴
∴
在区间(0,+∞)上是增函数．
设值
作差变形
判断差符号
下结论
∵
且
课堂小结
、减函数的定义: