函数的连续性.ppt

函数的连续性66835
POWERPOINT
1
２、
（1）在x=1处有定义
（3）函数f（x）的极限不存在。
1
2
o
x
y

y
x
o
1
2
３
（1）
函数的连续性66835
POWERPOINT
1
２、
（1）在x=1处有定义
（3）函数f（x）的极限不存在。
1
2
o
x
y

y
x
o
1
2
３
（1）在x=1处有定义；
（2）函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f（1）
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y

y
x
o
1
2
一般地，函数f（x）在点x0处连续
必须同时具备三个条件：
1、 存在，即函数
在点x0处有定义。
2、 存在。
3、
y
x
o
1
2
o
x0
x
y
定义：设函数f(x)在 处及其
附近有定义，而且
则称函数f(x)在点 处连续，
称为函数f(x)的连续点。
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性：
解：如图
（1）函数 在点x=0处没有定义，因而它在点x=0处不连续。
（2）因为
二、单侧连续性：
并且
如果函数 在点 处及其右侧
附近有定义
则称f(x)在点 处右连续。
x
y
O
a
类似地：
则称f(x)在 处是左连续。
如果函数 在点x0处及其
左侧附近有定义，并且
1
2
o
x
y

如
例如函数
x
y
o
-1
1
如图，在点x=0附近，
因而函数 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要
条件是既左连续又右连续
o
x0
x
y
三、函数的连续性：
1、开区间内连续：如果 在某一开
区间 内每一点处都连续，就说函
数f（x）在开区间（a，b）内连续，或
说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
2、闭区间上连续：如果函数 在开区间 内连续，在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，就说函数 在闭区间 上连续。
例如，函数 在闭区间[-1，1]上连续，而函数 在开区间（0，1）内连续，在闭间[0，1]上不连续，因为它在左端点x=0处不是右连续。
1、连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
连续
不连续
连续
不连续
不连续
不连续
练习：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
a
x
y
o
（7）
不连续
a
x
y
o
（8）
连续
2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续。
x
y
o
不连续
连续
连续
连续
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：
对于任意 ，这时我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
o
x2
x1
b
a
x
y
四、闭区间上连续函数的性质：
性质 (最大值最小值定理)
如果f（x）是闭区间[a，b]
上的连续函数，那么f（x）
在闭区间[a，b]上有最大值
和最小值。
o
x2
x1
b
a
x
y
注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数
在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值
-1（如图）
x
y
o
1
-1
-1
1