极限知识点.docx

nTa
高中数学第十三章-极限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：
理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
了解数列极限和函数
nTa
高中数学第十三章-极限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：
理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
了解数列极限和函数极限的概念．
掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质
§
⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个n0时结论正确；②假设当n=k(keN+,k>n0)时，结论正确，证明当n=k+1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
当n=no(n0eN+)时，P(n)成立；
假设当n<k(keN+,k>n0)时，P(n)成立，推得n=k+1时，P(n)也成立.
那么，根据①②对一切自然数n>n0时，P(n)都成立.
⑴数列极限的表示方法：
lima=a
n
ns
当nta时，aTa.
n
⑵几个常用极限：
limC=C(C为常数)
nTa
lim—=0(keN,k是常数)
nTank
对于任意实常数，
当丨aIy1时，liman=0
nTa
当|a|=1时，若a=1,则liman=1;若a=—1，则liman=lim(-1)n不存在
nTanTanTa
当|a|》1时，liman不存在
nTa
⑶数列极限的四则运算法则：如果lima=a,limb=b，那么
nb
nTanTa
lim(a±b)=a土b
nn
nTa
lim(a-b)=a-b
nn
③limn=—(b丰0)
nTa
n*bb
n
特别地，如果C是常数，那么
lim(C•—)=limC-lima=Ca.
nn
mgmgns
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当qyi时，无穷等比数列的各项和为s=丄(biy1).
1-q
(化循环小数为分数方法同上式)
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
；
⑴当自变量x无限趋近于常数x0(但不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f(x)(x)=a或当xTx0时，f(x)Ta.
XTx0
注：当xTx0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关，因为xTx0并不要求x=x0.(当然，f(x)在x0是否有定义也与f(x)(x)在x0有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条件.)
xTx0
如P(x)=<*11在x=1处无定义，但limP(x)存在，因为在x=1处左右极限均等于零.
、-x+1xY1xt1
⑵函数极限的四则运算法则：
如果limf(x)=a,limg(x)=b，那么
xTx0xTx0
lim(f(x)土g(x))=a土b
xTx0
lim(f(x)•g(x))=a•b
xTx0
li