专题：函数单调性的证明.doc

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函数单调性的证明
函数的单调性需抓住单调性定义來证明，这是目前高一阶段唯一的方法。
一、证明方法步骤为：
在给定区间上任取两个自变量X]、X?且Xj<x2
将f（坷）与f（X?）作差或作商（分母不为零）
比较差值（商）与1
函数单调性的证明
函数的单调性需抓住单调性定义來证明，这是目前高一阶段唯一的方法。
一、证明方法步骤为：
在给定区间上任取两个自变量X]、X?且Xj<x2
将f（坷）与f（X?）作差或作商（分母不为零）
比较差值（商）与0（1）的大小
下结论，确定函数的单调性。
在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。
二、常见的类型有两种：
（一）己知函数的解析式：
例1:证明：函数f（x）=—在xW（2,+8）单调递减
X-1
例2：证明：函数f（x）=x3+x+l^ExGRH寸单调递增
例3：证明：函数f（x）=^M®xe[l,-H^）时单调递增
例4：讨论函数f（x）=x+—在（1,如）的单调性，并求最小值
X*1
2
例5：求函数f（x）=—的单调区间
x-1
练习：1、证明函数f(x)=x+—(a>0)在(J〒,+s)单调递增
x
2、讨论函数f(x)=>A+x3-x的单调性
(二)抽象函数的单调性：
抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中f(x)与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：
例1：己知函数/(%)满足X、yWR时，/'(兀+y)=/(%)+f(y)恒成立，且当x>0时,/(%)>：fCO在R上单调递增.
例2：已知函数f(兀)满足X、ywR时,/(%y)=/(%)+/(y)恒成立，且当x>l时,/(%)>：fO)在(0,+°°)上单调递增.
例3：已知函数/'(X)满足x、yWR时，/'(xy)=/(%)/()0恒成立，且当x>l时，/'(%)>
若/•(<)：fa)在(0,+oo)上单调递增.
练习：
1>己知函数f(x)对于任意的X、yeR,总有
2
f(x)+f(y