3本构方程及NS方程.ppt

本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室
2009年4月
内容提要
流体运动分析及理想流体基本方程
真实流体受力分析
利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
流体质点运动的分析
y方向的运动方程：
z方向的运动方程：
注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，
　　适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。
方程的物理意义：
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点加速度的三个分量；
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
粘性流体运动微分方程
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
Navier－Stokes方程
对一维流动问题：
补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题：
补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
目的
将应力从运动方程中消去，得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程，即N-S方程。
关键：寻求流体应力与变形速率之间的关系
牛顿流体的本构方程
引入的基本假设：
为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个基本假设：
应力与变形速率成线性关系;
应力与变形速率之间的关系各向同性；
静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力
牛顿流体的本构方程：
本构方程的讨论：
正应力中的粘性应力：
流体正应力与三个速度偏导数有关
(即:线变形率)，同固体力学中的虎克定律。
线变形率与流体流动：
从流体流动角度看，线变形率的正负反映了流体的流动是加速还是减速；体变形率的正负反映了流动过程中流体体积是增加还是减少。
正应力与线变形速率：
附加粘性正应力
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。但有：
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率：
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
适用于牛顿流体
常见条件下N－S方程的表达形式：
适用于牛顿流体
常粘度条件下N－S方程：
矢量形式：
适用于牛顿流体
不可压缩流体的N－S方程：
矢量形式：
常粘度条件下不可压缩流体的N－S方程：
矢量形式：
非定常项
定常流动为0
静止流场为0
对流项
静止流场为0
蠕变流时≈ 0
单位质量流体
的体积力
单位质量流体
的压力差
扩散项（粘性力项）
对静止或理想流体为0
高速非边界层问题≈0
流动微分方程的应用求解步骤
根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。
提出相关的初始条件和边界条件。
　　初始条件：非稳态问题
边界条件
固壁－流体边界：
流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。
液体－气体边界：
对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。
液体－液体边界：
液液界面两侧的速度或切应力相等。
广义牛顿粘性应力公式
粘性流体动力学基本方程
一、应力张量分析
二、变形速率张量
三、本构方程
四、连续方程
六、能量方程
五、运动方程
七、方程组的封闭性
广义牛顿粘性应力公式
在流体作直线层流运动的条件下，我们可以直接由试验得到切应力与变形速率之间的关系式。
在流体作非直线层流运动的条件下，并不能直接由试验给出应力与变形速率之间的一般关系式。为了得到这样的关系式，必须对粘性流体中的应力性质作仔细的分析。
一、应力张量分析
运动流体中任一点的应力状态，可以由九个分量来表示，这九个应力分量组成一个二阶对称张量
分别为与坐标轴x，y，z相垂直的平面上的应力
任意平面上的应力可表示为
+
n为任意平面的法向单位向量
为便于书写，我们规定：分别用e1、e2、e3代替i、j、k，带有下标的量的下标分别用i=1，2，3代替x,y,z。并且遵循爱因斯坦符号算法规则：一项中下标符号重复的量，表示此项是变换下标后的各项相加。
例如：
在静止流体中或理想流体中，过一点的任意平面的法向应力的方向，都与该平面的单位法线向量n的方向相反，且法向应力的数值p与n无关，即
式中，p只是坐标位置及时间的函数p=p(x,y,z,t)。这个压力就是经典热力学平衡态意义上的压力