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池塘养鱼的最优方案模型
摘要：根据题目给出的七个已知条件和问题，我们判断这是一个关于如何在有限 的资源和条件下获得最大利润的养鱼问题。本文分别考虑了年初一次性投放鱼苗 年后一次性卖出和边投边卖尽可能利用鱼塘资源两种情况，并且在建模过程中运条鱼苗的平均质量为l/500kg,根据以上分析建立了如下模型。
设k为鱼每天增重的比例，鱼苗已过一年365天长为成鱼，得到方程：
x(l + k A65二 2
计算可得 k = 3651000 -1 沁
。
因此我们可以得到每条鱼每天的生长重量与时间的函数为q :
t
q = x()
t
用mat lab画出该函数的图像如下：
图1模型I的鱼的重量随时间的函数关系图
根据函数图像我们可以观察到在前200天，鱼的成长比较缓慢，但是在300 天以后，遇到成长速到相当快。可推算出在前期平均每天所有的费用比较少，在 后期，平均每天所用的费用较大。
假设每条鱼在养殖t天后所需的饲料费用为m :
t
m =£〔丄］x(>
t I500丿
i=1
从而我们可以计算出5000尾鱼苗产长到成鱼所需消耗得的饲料费用m : 即
m=5000<m
t
二 5000x
i=l
‘( — ()365)
= x
1 —
因此可以求出三年的收益总额为W :
W = 3x 2x15x5000 — 二
。
模型II
由于考虑到池塘的水面面积100x100 m2,鱼必要的生活空间为1 kg；m2 ,每 一千克鱼所需要消耗的饲料费等等条件，我们尝试通过微分方程和线性回归相结 合的方法，寻找出养鱼的最佳方案。
由条件已知鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为 成鱼，成鱼的重量为2kg。每一千克鱼苗大约有500条鱼，可以得到平均每一条 ，即：q0=，我们可以先建立微分方程[3],得到 鱼的生长函数如下:
器=kq(t)
dt
，鱼的重量为 2kg，代入上式得可以列出初试条件如下：
'q (0) = kg
< q(365) = 2kg
代入可以计算得得到k〜，因此得到养殖t天后每条鱼的重量函数 关系为：
q = x t
t
用mat lab画出其函数图像如下：
zsr
datal
图2模型II的鱼的重量随时间的函数关系图
根据图像可以看出，鱼苗在前150天的生长基本很不明显，在150天到250 天之间的体重开始有较为明显的增长，在后期体重增长更为突出。
再利用以上公式，可以计算出从鱼苗长到成鱼各个阶段所需要的生长天数， 整理得到下表：
鱼的重量（kg）
所需饲养的天数（天）
--
0--243
--
244—328
--
329—349

350--365
表1鱼的重量-
与饲养天数的关系表
我们要用有限的资源来产生更多的利润，故在考虑收益问题时，我们考虑到 每条鱼所能带来的利润不仅与饲料费和单价有关，还与鱼所生活的空间有关，因 为不同大小的鱼单价、费用和生活空间的大小各不相同，所以在计算利润时，我 们将以每一平方米鱼塘所能产生的收益大小作为标准，来求最佳养鱼方案。
已知当鱼的质量与时间的函数式为
q 二 X
t
又已知鱼重与鱼价之间的关系式为：
” 0元 / kg q < 0. 2
门 6元 / kg 0. 2 < q < 1
Q = f 一
10元 / kg 1 < q < 1. 5
、15元 / kg 1. 5 < q < 2
根据以上函数关系式可以求得每条鱼养殖 t 天后所用的饲料费：
m =
t
i=1
又已知鱼的存活空间为 1 千克每平方米，故我们可以求出在不同质量范围内 的鱼，一千克所能获利的大小，即在不同质量范围的鱼群中每平方米鱼塘的收益 多少。
设鱼的单价为b元/kg,则每条鱼的收入为
c = b k e t
t
再结合费用函数，最终我们求得每平方米鱼塘的收益函数为：
f (t) = (c — m