高等数学-重积分课件.ppt

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重积分
第八章
习题课
一、关于二重积分计算
二、关于三重积分在直角坐标系下计算
三、关于二重积分的应用
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（一）、重积分常见题目类型
：
a. 选择坐标系
使积分域多为坐域 ,
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
则有
(3) 若积分域较复杂,
X-型域或Y-型域.
【说明】
可将它分成若干
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【例1】
【解】
看作X－型域
1
2
o
x
y
y=x
y=1
D
x
D既是X—型域又是—Y型域
［法1］
3、 【利用直角坐标系计算二重积分题类】
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看作Y－型域
1
2
o
x
y
x = y
x=2
D
y
1
2
［法2］
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【例2】
【解】
D既是X—型域又是—Y型域
［法1］
－1
1
1
x
o
y=x
D
x
y
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［法2］
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
－1
1
1
y
o
y=x
D
－1
x
y
注意两种积分次序的计算效果！
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【例3】
【解】
D是Y—型域
也可以视X—型域
先求交点
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［法1］
视为X—型域
（计算较繁）
本题进一步说明两种积分
次序的不同计算效果！
［法2］
（计算简单）
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【例4】
【解】
X-型
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【例5】
【解】
先去掉绝对值符号，如图
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【例6】
【解】
【分析】交换积分次序
若直接计算，积分比较困难！
（注意被积函数）
作业 P152;同济p154
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（四）、利用极坐标系计算二重积分
首先分割区域 D
两组曲线将 D 分割成许多小区域
用

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将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽）
则 面积元素
扇形弧长
径向宽度
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则
二重积分极坐标表达式
可得下式
【注意】极坐标系下的面积元素为
直角坐标系下的面积元素为
区别
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区域特征如图
（1）极点O 在区域 D 的边界曲线之外时
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若区域特征如图
特别地
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（2）极点O 恰在区域 D 的边界曲线之上时
区域特征如图
（1）的特例
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区域特征如图
（3）极点 O 在区域 D 的边界曲线之内时
（2）的特例
一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？
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【解】
3、利用极坐标系计算二重积分
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【解】
x
y
o
的原函数不是初等函数 ,故本题无法
【注】
用直角坐标计算.
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【解】
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【例4】 计算二重积分
其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
【解】 (1) 利用对称性.
围成 .
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(2) 积分域如图:
将D 分为
添加辅助线
利用对称性 , 得
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【例6】
【解】
作业 P153;同济p155!
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4.【补充】 改变二次积分的积分次序例题
【例1】交换下列积分顺序
【解】 积分域由两部分组成:
视为Y–型区域 , 则
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【例2】计算
其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2 = x 所围成
【解】
积不出的积分，无法计算。
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【例3】
【解】
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作业 P153; 同济p155!
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二、三重积分的计算

以下只限于叙述计算方法



方法1 . 投影法 (“先一后二”)
方法2 . 截面法(切片法) (“先二后一”)
先假设连续函数
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
---将三重积分化为三次积分．
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方法1 ：投影法【“先一后二”】
如图
∥z轴
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得
X—型域
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【注意】
此式称为先对z、次对y、最后对x的三次积分
得计算公式
（1）
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（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，
将Ω分割，化为部分区域上的三重积分之和.
（3）也可把Ω投影到yoz面或zox面上，便可
把三重积分化为其它顺序的三次积分.
（要求平行于 x 轴或 y 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面 S 相交不多于两点）.
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【例1】
【解】