股票动力学.docx

中国社会科学院经济文化研究中心
调查研究通讯
-12 2002 年 7 月 16 日
股票市场分析方法综述：非线性动力学
《股市动力学》课题组
在前文中，我们曾对以时间序列方法研究股价波动的模型做过综述。从随机 走动需求的加速度X"要“超前” n/2弧度，即90 度; 一个流量的导数之间缺乏相位匹配，一般不被经济学家所注意。当超额需求振动 的幅度为a时，其速率的振幅就为a3,其中3是根据弧度模2n来限定的；准 确地说，速率的振幅％a( a/s ) 1/2，加速度的振幅％a( a/s )这样，对于给 定的超额需求量来讲，市场总规模越大，变化速度的振幅就越小，这是很自然的。
现在的这个模型即使对物理应用来说也太简单了，更不要说应用于经济学 了。作为走向现实的第一步，首先对式( 3)加以修改，允许系统存在摩擦或阻 尼，即假定对恢复力做出反应的加速度与变化速度成比例地降低。这样，我们就 得出：
sx"=-ax-bx' (9)
其中，-bx'代表系统中摩擦(或阻尼)力的影响。在继续进行分析之前， 有必要指出：方程( 3)通解的另一种表达为
x= aexp[i(3 t+①)],i = JT ( 10 )
其中，常数所代表的意义与式(3)相同(在本文中 exp[ ]这一符号表示 以 e 为底的指数形式)。
式(9)的通解是x=cexp[Yt]的一种类型，其中c是由初始条件决定的常 数，Y可以是复数。如果把这些代入到式(9)，则结果是
cexp[ y t](s y 2+b y +a)=0 ( 11 )
解这个方程得到下述结果： y=-b/(2s)±[b2/(4s2) -a/s]1/2 (12)
很显然，在方程(12)中存在三种结果，它们依赖于大括号这一项的符号。 如果大括号内这一项为正，这表示阻尼效应超过恢复效应，则可以认为：通解可 以双曲性正弦或余弦来表示。超额需求 x 的解轨线作为时间的函数最初上升，然 后下降，从而形成一个单峰曲线；此时不存在振荡。
第二种情况是大括号项为零，这种情况没有什么重要意义，它仅仅是上述 刚讨论过的情况与下述情况的临界状态。
第三种情况是Y的解存在复数共轭根，这种解可表达为： x=Aexp[(-b/2s)t]sin(3 t+①) (13)
1
其中3 是由下述方程给定的
1
3 =(a/s-b2/4s2)1/2 (14)
1 很明显，这种解轨线是一种有阻尼的振动轨线，其中阻尼效应依赖于阻尼
系数b和市场总规模或所交易商品的总存量s。振动减弱至零的速度是由b/2s 所给定的。需要指出的是，这种阻尼系统振动的固有频率不同于非阻尼系统的固 有频率。从式(14 )可见，阻尼系统的频率减少了 b2/4s2，且市场总规模越大， 振荡频率就越低。非阻尼系统的频率随si/2的增加而减小。但是当阻尼系统的频 率也随S1/2的增加而减小时，对于较大的s来说，也就是对总规模非常大的市场 来说，这两种频率的差别将会缩小。阻尼与非阻尼系统的振动频率之间差别是很 小的。
迄今为止，分析一直集中于对单一脉冲、振动的市场反应的线性描述。当 然，可以分析一系列随机振动对方程解轨线的影响，但更有价值的是分析市场系 统发生振动的正弦曲线轨线。于是，可用下述方程定义“驱动函数”的影响： sx"+bx'+ax= 6