定积分2011.ppt

定积分2011
MARKETING
*
三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
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6. 若在 [a , b] 上
则
推论1. 定积分2011
MARKETING
*
三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
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6. 若在 [a , b] 上
则
推论1. 若在 [a , b] 上
则
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7. 设
则
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
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二、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、变上限积分函数
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微积分基本公式
第六章
一、变上限积分函数
则变上限函数
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定理1. 若
即
变限积分求导公式：
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（重点）
（1）
（2）
（3）
例2. 求
解:
原式
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例1：求
解：
例3：求
解:
原式
解:
原式
例4 求
解
二、牛顿 – 莱布尼兹公式
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
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定理2.
函数 ,
则
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的
基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)
的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的
增量F(b)–F(a)，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.
例5. 计算
解:
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练习一
(1)求
(2) ：设
求
(3) ：
(4):
二、定积分的分部积分法
不定积分
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一、定积分的换元法
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
定积分的计算法
第六章
一、定积分的换元法 （重点）
定理1. 设函数
单值函数
满足:
1)
2) 在
上
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则
注意：
1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.
2) 换元公式也可反过来使用 , 即
或配元
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例1. 计算
解: 令
则
∴ 原式 =
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且
例2：求
解：
方法二：
例3 求
解
例4.
证（不要求）；结论很重要
(1) 若
(2) 若
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为偶函数，
为奇函数，
(2)
(3)
(2)
例5：（1）
二、定积分的分部积分法 （重点）
定理2.
则
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或
例6. 计算
解:
原式 =
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例7：求
解：
例8: 求
解:
练习三
求下列积分：
二、 旋转体的体积
一、 平面图形的面积
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定积分的应用
第六章
一、平面图形的面积（重点）
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例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
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例2. 计算抛物线
与直线
的面积 .
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
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旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
二、旋转体的体积（重点）