定积分及其计算方法.ppt

定积分及其计算方法
例5.
设
在
上是单调递减的连续函数，
试证
都有不等式
证明：显然
时结论成立.
(用积分中值定理)
当
时,
故所给不等式成立 .
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例5.
设
在
上是单调递减的连续函数，
试证
都有不等式
证明：显然
时结论成立.
(用积分中值定理)
当
时,
故所给不等式成立 .
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明对于任何
例6.
解：
且由方程
确定 y 是 x 的函数 , 求
方程两端对 x 求导, 得
令 x = 1, 得
再对 y 求导, 得
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故
例7.
求可微函数 f (x) 使满足
解: 等式两边对 x 求导, 得
不妨设 f (x)≠0,
则
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注意 f (0) = 0, 得
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例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程
解: 令
则
代入原方程得
两边求导:
可见 f (x) 应为二次多项式 ,
设
代入① 式比较同次幂系数 , 得
故
①
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再求导:
二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法
2. 注意特殊形式定积分的计算
3. 利用各种积分技巧计算定积分
4. 有关定积分命题的证明方法
思考: 下列作法是否正确?
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例9. 求
解: 令
则
原式
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例10. 求
解:
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例11. 选择一个常数 c , 使
解: 令
则
因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使
即
可使原式为 0 .
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例12. 设
解:
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例13. 若
解: 令
试证 :
则
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因为
对右端第二个积分令
综上所述
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例14. 证明恒等式
证: 令
则
因此
又
故所证等式成立 .
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例15.
试证
使
分析:
要证
即
故作辅助函数
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至少存在一点
证明: 令
在
上连续,
在
至少
使
即
因在
上
连续且不为0 ,
从而不变号,
因此
故所证等式成立 .
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故由罗尔定理知 ,
存在一点
思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?
如果能, 怎样设辅助函数?
要证:
提示:
设辅助函数
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例16.
设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且
(1) 在(a, b) 内 f (x) > 0 ;
(2) 在(a, b) 内存在点 , 使
(3) 在(a, b) 内存在与  相异的点 , 使
(03考研)
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证: (1)
由 f (x)在[a, b]上连续,
知 f (a) = 0.
所以f (x)
在(a, b)内单调增,
因此
(2) 设
满足柯西中值定理条件,
于是存在
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即
(3) 因
在[a, ] 上用拉格朗日中值定理
代入(2)中结论得
因此得
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例17. 设
证: 设
且
试证 :
则
故 F(x) 单调不减 ,
即② 成立.
②
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例1. 求抛物线
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
解: 设抛物线上切点为
则该点处的切线方程为
它与 x , y 轴的交点分别为
所指面积
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且为最小点