东北大学《线性代数》5-3、4 相似矩阵及对称矩阵的对角化.ppt

寻找§ 3-4 相似矩阵与方阵对角化 Py x? Ax xf T??本章中心: 使二次型转换为标准形?? AP P P T ,使得寻找正交阵 yyf T??正交变换正交变换复习: 本章结构: 本章结构: ?二次型的定义及矩阵表示?正交向量组?特征值与特征向量?方阵对角化的充要条件?对称方阵对角化?二次型化标准型本节目的与要求: (1) (1) 理解相似矩阵的概念与性质; 理解相似矩阵的概念与性质; (2) (2) 会利用相似矩阵性质解决一些简单问题; 会利用相似矩阵性质解决一些简单问题; (3) (3) 理解方阵对角化的充要条件; 理解方阵对角化的充要条件; (4) (4) 了解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质; 了解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质; (5) (5) 会用正交变换法将实对称矩阵化为对角阵。会用正交变换法将实对称矩阵化为对角阵。一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念定义 1设A,B都是n阶矩阵, B AP P??1可逆矩阵 P,使得若有则称矩阵 A与B相似, 称可逆矩阵 P为把 A变成 B的相似变换矩阵. 称 AP P 1?为对 A进行相似变换(运算) . 1, B P AP ??若 1 1 1 0 1 1 1 1 n n n n P P AP PE a a P A P A a a P P ? ??? ??? ??? ?? kB ?B的多项式 1 0 1 1 ( ) n n n n B B E a a a a B B ???? ????? 1 ( ) . A P P ??? 1. kP P A ??则 1 1 0 1 1 ( ) n n n n A E P a a a a P A A ? ??? ????? 1 APP ?1 APP ? 1 APP ?? 1 APP ?k个 1, B P AP ??若则 1 ( ) ( ) B P A P ? ???二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质 1、定理 1相似矩阵有相同的行列式相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征值 B AP P??1 BABPAPB AP P????????1 1 EP P AP PE AP PEB??? 1 1 1?????????EAPEAP???????)( 1三、方阵三、方阵 A A可对角化定义: 可对角化定义: ???????????????? n???? 2 1 . 21 个特征值的即为, , , 则nA n????推论若n阶矩阵 A与对角矩阵相似, 称称A A可对角化可对角化利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式 1 1 2 , ( , , , ) n P AP diag P ? ? ????? L 若有可逆矩阵使, 1P PA kk???则.)()( 1P PA ????? 1 2 ( , , , ) k k k kn diag ? ? ??? L 1 2 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) n diag ? ???? ? ??? L 利用上述结论可以很方便地计算矩阵 A的多项式( ). A?四、方阵可对角化的充要条件四、方阵可对角化的充要条件 n阶矩阵 A可对角化 A有n个线性无关的特征向量. ???? AP P stP 1., 可逆阵???P AP ???????????????? n n nppppppA ?????? 2 1 21 21),,,(),,,(? nnnp Ap p Ap p Ap??????,,, 222111????????若能求出若能求出 A A的的n n个线性无关特征向量,则个线性无关特征向量,则 A A可可对角化,且对角阵主对角线元素恰好是特征向对