4.定积分.doc

同方专转本高等数学核心教程
第四章 定积分
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第四章 定积分
本章主要学问点
定积分计算
特殊类函数的定积分计算
变限积分
定积分有关的结论： （其中）
复习时应着重把握通过直接计算来争辩广义积分的敛散性。
．争辩的敛散性
解：

所以，是收敛的。
．求
解：左边， 。
．当为何值时，广义积分收敛？当为何值时，这个广义积分发散？又当为何值时，广义积分取得最小值？
解：当时，有
当，发散，
即，当时，广义积分收敛；时，广义积分发散。
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设，则

令，得驻点：。
但当时，；当时，；
从而，当时，广义积分取微小值，也就是最小值。
注：类似可争辩无界函数积分，即瑕积分。假设为的瑕点，
存在有限。
．
解：原式＝，
所以原式发散。
．
解：原式＝
＝
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六、定积分应用
1．面积

如图所示。
求面积首要问题是画出草图，图形的上下位置，交点确定要做得精确。通常曲线，例直线、抛物线、双曲线、指数、对数、的图像要画得娴熟、精确。
．与直线所围图形面积。
解：由，解得
。

e
．轴所围图形面积。
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解：

．所围图形面积。
解：
y

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==
．求由过抛物线y=上点的切线与抛物线本身及轴所围图形的面积。
解：切线的方程：，
，

==。
．过作抛物线两切线，求两切线与抛物线本身所围图形的面积.。
解；设切点为，
，切线方程为，
又切点位于其上，，
切线方程为；


2．旋转体体积
绕轴旋转所得图形的体积（）
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绕轴旋转所得图形的体积（）
绕轴旋转所得图形的体积（）
绕轴旋转所得图形的体积（）

．与所围部分，
（1）绕轴旋转所得图形的体积；
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（2）绕轴旋转所得图形的体积。
解：①
②

．抛物线
抛物线上哪一点处切线平行于轴？写出切线方程？
求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积。
求该平面图绕轴旋转所成的旋转体的体积。
解：（1），得
切点为，切线方程为
（2）
4
（3）

．计算由和轴所围成的平面图形绕轴，轴分别旋转而得到的旋转体的体积。
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解：（1）
（2）
3．应用综合
．由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线的围成的三角形面积最大。
解：如图，设所求