八个有趣模型搞定外接球内切球问题(学生版)).docx

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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与切球
类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)
c
C
B
a
图2
c
C
a
B
图3
P
c
C
图4
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方，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=、3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外
接球的体积为()

D.
兀
“B亏
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（4）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A
题设：如图
意三角形）
10-1，图10-2，
图10-3,直三棱柱接于球（同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任
2
爲迈
A-6
C•丁

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第一步：确定球心O的位置，0是AABC的外心，贝uOO丄平面ABC；
11
，解出R
第二步•算出小圆q的半径AOi二r,Oq=AA1=2h（AA二h也是圆柱的高）;
第三步•勾股定理：OA2=OA2+OO2nR2=()2+r2nR=
■■ii2\
例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
9
且该六棱柱的体积为6，底面周长为3，则这个球的体积为
8
2）直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,ZBAC=120°,则此球
1111
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的表面积等于。
已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,ZAEB=60°,
则多面体E-ABCD的外接球的表面积为。
兀
在直三•棱柱ABC—ABC中，AB=4,AC=6,A=—,AA=—ABC的外接球^
11131111
的表面积为
类型五、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)
第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出ABCD和AA'BD的外心H和H；
12
第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；12
第三步•解AOEH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：OH2+CH2=OC2
11111
例5三棱锥P-ABC中，平面PAC丄平面ABC，△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为.
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
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题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD，AD=BC，AC=BD)
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第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c,AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列方程组,
a2+b2=x2
<b2+c2=y2n
c2+a2=z2
x2+y2+z2
(2心=a2+b2+c2=—厂一
补充:
V
A-BCD
11
=abc-abcx4=—abc
63
第三步
根据墙角模型
2R=\a2+b2+c2
图12
R=Jx2+y2+z2
8
，求出R,
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一
个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.
(2)—个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是(
)
D.
12
⑴题解答图
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(3)在三棱锥A一BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三
棱锥A-BCD夕卜接球的表面积为<
(4)如图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为.
L)
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(5)正四面体的各条棱长都为\2，则该正面体外接球的体积为
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
C
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OP,OC，则OA=OB=OC=OP=1AB,2
题设：ZAPB=ZACB=90，求三棱锥P-ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O，连接
•••O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP