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定积分及其应用习题课
n n!
1．求极限： lim ；
n n
2．设 f (x) 为[0,a] 上的非负单调增加的连续函数，又 x ne x
（2） lim  1 dx 。
n 0 1 e x
1 / 313．设 f (x) 在[A, B] 上连续，且 A  a  b  B ，求证：
f (x  h)  f (x)
lim b dx  f (b)  f (a)
h0 a h
2 2  
14．证明恒等式：  sin x arcsin t d t   cos x arccos t d t  (0  x  ) 。
0 0 4 2
15. 设 f (x) 在[0,) 上连续，且单调增加，试证明对任何b  a  0 ，皆有
1
b xf (x)dx  [bb f (x)dx  aa f (x)dx]。
a 2 0 0
Ma 2
16．设 f (x) 在0,a连续， f (a)  0 ，证明  a f (x)dx  ，其中 M  max f (x) 。
0 2 0xa
17．设 f (x) 在0,1连续，在(0,1) 可导，且3 1 f (x)dx  f (0) ，证明：在(0,1) 内至少存在
2
3
一点 ，使 f ( )  0 。
1
18．设 f (x) 在0,1可微，且满足 f (1)  2 2 xf (x)dx ，证明：在 (0,1) 内至少存在一点 ，
0
f ()
使 f ()   。
