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DSP 原理及应用课程设计—— FFT 的 DSP 实现学院:信息工程学院班级:通信 0803 姓名;庄家杰学号: 20080013 49 设计三 FFT 的 DSP 实现一. 设计目的 1. 加深对 DFT 算法原理和基本性质的理解; 2. 熟悉 FFT 的算法原理和 FFT 子程序的算法流程和应用; 3. 学习用 FFT 对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法; 4. 学习 DSP 中 FFT 的设计和编程思想; 5. S 的波形观察器观察波形和频谱情况; 二. 设计内容用 DSP 汇编语言及 C 语言进行编程, 实现 FFT 运算、对输入信号进行频谱分析。 FFT 快速傅里叶变换( FFT )是一种高效实现离散傅里叶变换( DFT ) 的快速算法,是数字信号处理中最为重要的工具之一,它在声学,语音,电信和信号处理等领域有着广泛的应用。 1. 离散傅里叶变换 DFT 对于长度为 N 的有限长序列 x(n) ,它的离散傅里叶变换( DFT ) 为1,1,0,)()( 10??????NkWnxkX nn nkN?(1) 式中, NjNeW /2???,称为旋转因子或蝶形因子。从 DFT 的定义可以看出,在 x(n) 为复数序列的情况下, 对某个k 值,直接按( 1 )式计算 X(k) 只需要 N 次复数乘法和( N-1 )次复数加法。因此,对所有 N个k 值,共需要 N 2 次复数乘法和 N(N-1) 次复数加法。对于一些相当大有 N 值(如 1024 点)来说,直接计算它的 DFT 所需要的计算量是很大的, 因此 DFT 运算的应用受到了很大的限制。 2 .快速傅里叶变换 FFT 旋转因子 W N 有如下的特性。。对称性: 2/NkN kNWW ???。周期性: NkN kNWW ??利用这些特性,既可以使 DFT 中有些项合并,减少了乘法积项, 又可以将长序列的 DFT 分解成几个短序列的 DFT 。 FFT 就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。 FFT 的算法是将长序列的 DFT 分解成短序列的 DFT 。例如:N 为偶数时, 先将 N 点的 DFT 分解为两个 N/2 点的 DFT , 使复数乘法减少一半: 再将每个 N/2 点的 DFT 分解成 N/4 点的 DFT , 使复数乘又减少一半,继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数, 对于基数为 2的 FFT 算法,它的最小变换是 2点 DFT 。一般而言, FFT 算法分为按时间抽取的 FFT ( DIT FFT ) 和按频率抽取的FFT( DIF FFT )两大类。D IF FFT 算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇/偶分成2个短序列进行计算。而 DIF FFT 算法是在频域内将每一级输入序列依次奇/偶分成2个短序列进行计算。两者的区别是旋转因子出现的位置不同, 得算法是一样的。在 DIF FFT 算法中,旋转因子 kNW 出现在输入端,而在 DIF FFT 算法中它出现在输入端。假定序列 x(n) 的点数 N是2 的幂,按照 DIF FFT 算法可将其分为偶序列和奇序列。偶序列: 12/,1,0 ),2( 2), - (N (4), (2), (0), 1???Nrrxxxxxx??即奇序列: 12/,1,0 ),12( 1), - (N (5), (3), (1), 2????Nrrxxxxxx??即则 x(n) 的 DFT 表示为)2()()( )12()2( )()()( 12/0 22 12/0 21 12/0 )12( 12/0 2 10 10?????????????????????????? Nr rkN kN Nr rkN Nr krN Nr rkN Nn nkN Nn nkNWrxWWrx WrxWrx nn WnxWnxkX 为奇数为偶数由于???? 2/ )2/ /(2 2)/2(2N NjNjNW eeW???????,则( 3 )式可表示为)3(12/,1,0)()( )()()( 21 12/0 2/2 12/0 2/1????????????NkkXWkX WrxWWrxkX kN Nr rkN kN Nr rkN?式中, )( 1kX 和)( 2kX 分别为)( 1nx 和)( 2nx 的 N/2 的 DFT 。由于对称性, , 2/KN NkNW W???则)()()2/( 21kXWkXNkX kN???。因此, N 点)(kX 可分为两部分: 前半部分:12/,1,0)()()( 21????NkkXWkXkX kN?(4) 后半部分:12/,1,0)()()2/( 21?????NkkXWkXNkX kN?(5) 从式(4) 和式(5) 可以看出, 只要求出 0~