等比数列的性质.docx

: .
教学内容
【知识结构】
.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等丁即d2—2qd+q2=0,即d=q#0.
证二：.•(a2+b2d2—2b(a+cd+b2+c2=0•■-a2d2-2abdb2Lib2d2-2bcdc2=02__2•■-(ad—b)十(bd—c)=0,/.ad=b，且bd=ca,b,c,d非零,•-—=—=d,(an)的前n项和，Sh=kn2+n,KN*,其中k是常数.
(1) 求ai及an;
(2) 右对丁任总的m^N,am,a2m,a4m成等比数歹0,求k的值.
解(1)当n=1,a1=S1=k,1,n芝2,an=Sn—SnJL=kn2+n—[k(n—1)2+(n—1)]=2kn—k+1(*)经验，n=1,(*)式成立,
.an=2kn-k1
(2)vam,a2m,a4m成等比数列,
2-a2m=am24m,
即(4km—k+1)2=(2km—k+1)(8km—k+1),整理得：mk(k—1)=0,对任意的m"N*成立，二k=0或k=1例7在等差数歹U｛an｝中，若a〔0=0,则有等式a1+&+・・・+an=a1+a2+-・+an(n<19,n£N)，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9=1,则有等式成立’
答案：bib2-bn=bib2-bi7n(n<17,n€N);
解：在等差数歹0｛an｝中，由a〔o=O,得+a〔9=a?+a〔8=•••=an+a?。—n=3n+1+a〔9—n=2a〔0=0,以a〔+&++an++a〔9=0,即a〔+&++an=—a〔9—a〔8—一an+1,
乂•a〔=—a〔9,a?=—a〔8,■■■,a〔9—n=—an+〔
..a〔+32+,,,+an=—a〔9一a〔8—...一an+〔=a〔+a?+...+a〔g_n,ag—0,可彳寻Bi+a?+…+an=a〔+a?+a〔7-n,
相应地等比数列｛bn｝中，则可得：bib2-bn=bib2-bi7n(n<17,n€N)0
【备选例题】—1,在边长为I的等边△ABC^,圆。为/XABCB勺内切圆，圆Q与圆Q外切，且与AB,BC相切，…，圆6与圆Q外切，且与ABBC相切，。的面积为an(n€N),证明｛a»是等比数列；6R_i
证明：记rn为圆。的半径，Mri=-Ltan30。=乌。「一一「n=sin30=1,所以rn=1rni(n^),丁是ai=”2==(上)2=J,故
312%字」9｛an｝成等比数列。
点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。
2例9已知数列《aj和｛b」¥两足：ai=入an+i=—a”+n—4,bn=(―1)(a”—3n+21),其中3入为实数，n为正整数.
(I)对任意实数入证明数列〈a」不是等比数列；
(皿)试判断数列心」是否为等比数列，并证明你的结论.
解：(I)证明：假设存在一个实数入使｛an｝是等比数列，则有a；=aa3,即(2舄一3)2=7<4舄一4)u4舄2-4舄+9=』舄2-