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平均值不等式
平均值不等式
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平均值不等式
平均值不等式(第二课时)
【目标】1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；
2．利用不等式求最值时要注意到“一正〞 “二定〞“三相等〞．
c
平均值不等式
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平均值不等式
x
y
y
z
b
c
aa
c
b
a
b
c
y
z
x
y，那么t
2
1
(2
2
2)
3
令t
2
x
y
y
z
当且仅当2y
x
z时取等号。
当且仅当a
b
c时取等号。
所以n
4即n的最大值
4
。
【例2】x,y为正实数，且
1
1
1，求
正解：x
2y
(x2y)(1
1)
x
y
x
y
2y的最小值。
1/3
错解：因为1
1
1，所以2
1
1即xy4
x
y
xy
x 2y 22xy 4 2
错因：无视等号成立的条件，第一个均值不等式等号条件xy，第二个均值不等式等号条件
x2y，要使两个等号成立那么需xy
0，不
合题意。
【变式训练
1】x,y为正实数，且2x
8y
xy0
，求xy的最小值。
【变式训练3】函数y
log4(x
3)1〔a0
a
1)的图象恒过点
A，假设点
A是在直线
mx
ny10
上，其中mn0
1
2
，求
n
的最小值．〔07
m
年山东〕
【变式训练
5】实数x,y满足1
1
1，求
x2
y2
x2
2y2最小值。
【例3】假设x
y
0且xy
1，那么x2
y2
的最
x
y
小值。
解：
x2
y2
(x
y)2
2
x
y
x
y
x
y
2
22
x
y
当且仅当xy
2即x
1
5
2
时取等号。
【例4】x
0,y
0，x
2y
2xy
8
求x
2y的最小值。
解：8x2y2xy
x2y(x2y)2
2y，那么t2
2
设t
x
t
8得：t8
4

平均值不等式
平均值不等式
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平均值不等式
2y
x
22。
3
3
x
y
当且仅当x
2y即x
21时取等号。
【点评】将问题转化为双钩函数求最值是利用均值不等式解题的一种技巧。
【变式训练2】在等号右侧两个分数的分母括号处各填上一个自然数并使这两个自然数之
1 9
和最小： 1 ．
【变式训练
4】设x,yR满足约束条件
3x
y
6
0
x
y
2
0假设目标函数Z
axby
x
0,y
0
〔a
0,b
0〕的值是最大值为
12，求
3的最小值。25〔09年山东〕
a
b
6
【变式训练
6】a
R,b
R，且ab
0，
a2
4b2
3，求
1
1
的最小值。
a2
b2
【变式训练】
x,y,zR，x
2y
3z
0，
求y2
的最小值。〔08年江苏〕
xz
解