集合的基本运算.ppt

1．　集合的基本运算
1．一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的并集，记作 ，用描述法表示为 ．
(1)设A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝ ．
(2)设A＝{1,2锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∪B＝________.
[答案]　(1){－3,4，－4}
(2){x|x是斜三角形}
[解析]　(1)∵A＝{4，－4}，B＝{－3,4}，
∴A∪B＝{－3,4，－4}
(2)A∪B＝{x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}＝{x|x是斜三角形}.
在求A∩B时，只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可．反之，若已知a∈A∩B，那么就可以断定a∈A且a∈B；若A∩B＝∅，说明集合A与B没有公共元素．
[例2]　(09·全国Ⅱ文)设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝
(　　)
A．{0,1}　　　 B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
[解析]　∵M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故选B.
若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于
(　　)
A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}
C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}
[答案]　D
[解析]　将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D.
[例3]　已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝________.
[答案]　{x|x是等腰直角三角形}
[解析]　A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
＝{x|x是等腰直角三角形}.
[例4]　已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B.
[分析]　借助于数轴直观解题．
[解析]　根据A∩B、A∪B的定义，借助图形可知．
A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．
总结评述：要注意A∩B与A∪B的区别与联系，特别注意端点位置的数是否在其中．
设集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{x|x>a}．
(1)若A⊆B，则a的取值范围是________；
(2)若A∩B≠∅，则a的取值范围是________；
(3)若A∪B＝B，则a的取值范围是________；
(4)求A∩B＝A，则a的取值范围是________．
[答案]　(1)a<1　(2)a<3　(3)a<1　(4)a<1
[解析]　借助数轴讨论，注意端点能否取到．
[例5]　已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a值．
(1)9∈A∩B；
(2){9}＝A∩B.
[分析]　9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其它公共元素．
{9}＝A∩B，说明A与B的公共元素有且只有一个9.
[解析]　(1)∵9∈A∩B，∴9∈A
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
检验知：a＝5或a＝－3满足题意．
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，
∴a＝5或a＝±：a＝5时，A∩B＝{－4,9}不合题意，∴a＝－3.
总结评述：(1)中检验的是集合A、B中的元素是否是互异的，a＝3时，B中元素a－5与1－a相同，所以a＝3应舍去；(2)中进一步检验A与B有没有不是9的公共元素，a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，这时A∩B＝{－4,9}≠{9}，所以a＝5应舍去．
已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝{ }，求A∪B.
[例6]　高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？
[分析]　借助Venn图可直观地得出有限集元素的个数．用card(A)表示集合A中所含元素的个数，则计数公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－Card(A∩B)
[解析]　设U＝{高一(3)班学生}，A＝{高一(3)班参加语文小组的学生}，B＝{高一(3)班参加数学小组的学生}，则A∩B＝{高一(3)班既参加语文小组又参加数学小组的学生}．
有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋card(B)－c