函数的单调性.docx

、函数单调性的的判断方法函数的单调性除了用差分法(乂称定义法)判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种:

直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记在区间［0,)上是减函数，f(°)f(a2a1).
4
注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间.
示例4已知f(x)是定义在［1,1］上的增函数，且f(x1)f(13x)，求x的取值围.
解Qf(x)是定义在［1,1］上的增函数，且f(x1)f(13x),可得不等式组1x11,113x1,即x113x,
0x2,
0x2,解得0x；,所以所求x［0,1).
用函数的单调性求最值
在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论:
(1)若f(x)在定义域［a,b］是增函数，则当xa时，f(x)取得最小值f(a)当xb,f(x)取得最大值f(b)如图2.
(2)若f(x)在定义域［a,b］是减函数，则当xa时，f(x)取得最大值f(a),当xb,f(x)取得最小值f(b)如图3.
已知函数yf(x),x［a,b］,acb,如果f(x)在［a,c］上是单调递增(减)函数，在［c,b］上是单调递减(增)函数，则f(x)在xc时取得最大(小)值，在xa或xb时取得最小(大)值，如下图4,5.
图4图5
示例5求函数y3x2J84x的最大值.
解：令f(x)3x2,g(x)J84x，则yf(x)g(x).由题意得函数的定义域为(,2］.Qf(x)3x2在(，2］上递增，g(x)V84x在(，2］上递减，但g(x)M47在(，2］上递增，y3x2E47在(，2］上为递增函数，当x2时，y有最大值4.
注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.
利用单调性求参数的取值
举例应用：课本40贞例3
解含“f”的不等式
根据函数yf(x)在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值围即已知函数yf(x)在定义域的某个区间上为增函数，若f(xjf(x2),则x1x2；若已知函数yf(x)在定义域的某个区间上为减函数，若f(xi)f(x2),则xix2，就是增(减)函数定义的逆应用.
示例6已知函数yf(x)是R上的减函数，且f(2x3)f(5x6),数x的取值围.
解：Q函数yf(x)是R上的减函数，且f(2x3)f(5x6),
2x35x6,x(3,).
函数的定义域和值域
一、复合函数的定义域复合函数yf(g(x))的定义域，是函数g(x)的定义域中，使中间变量ug(x)届丁函数f(u)的定义域全体.
示例1若函数f(x)的定义域为［1,4］,求函数f(x4)的定义域.
解：Q函数f(x)的定义域为［1,4］,使得f(x4)有意义的条件是1x44,即3x0,则f(x4)的定义域为［3,0］.
注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号的取值围相同”^
示例2已知f^/x3)的定义域为［0,3］,求函数f(x)的定义域.
解题分析：函数f(VT^)和f(x)中的x并不是同一个量，若设uJx3,则
fh/T3)变成f(u)，那么u的取值围才是函数f(x)的定义域，即“对应法则相同,括号的取值围相同”
解：Qf(>/TW的定