2022年不等式与绝对值不等式教案.docx

名师归纳总结 精品学习资料
- - - - - - - - - - - - - - -
学习必备 欢迎下载
第三十一讲 回来课本
含肯定值的不等式
： 〔a∈R〕 ≤0,故 x＝－ 1；
由 x2＋2x－1≥2 得 x≤－3 或 x≥1.
综上知,原不等式解集为
{x|x≤－3 或 x＝－1 或 x≥1}．
答案： { x|x≤－ 3 或 x＝－ 1 或 x≥1}
类型一肯定值不等式的性质应用
解题预备： ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋ |b|,当 ab≥0 时,|a＋b|＝|a|＋|b|,当 ab≤0 时,|a
－b|＝|a|＋|b|.
【典例 1】〔1〕设 xy<0,x,y∈R,那么正确选项 〔 〕
A． |x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y|
C．|x＋y|<|x－y| D．|x－y|<||x|－|y||
|a－b|,n＝|a|＋|b| |a＋b|,就 m,n 之间的大小关系是 ________．〔2〕已知 |a|≠ |b|,m＝|a|－|b|
[解析]〔1〕解法一：特殊值法
取 x＝1,y＝－ 2,就满意 xy＝－ 2<0,
这样有 |x＋y|＝|1－2|＝1,|x－y|＝|1－〔－2〕|＝3,
|x|＋ |y|＝1＋2＝3,||x|－|y||＝|1－2|＝1,
∴只有选项 C 成立,而 A、B、D 都不成立．
解法二：由 xy<0 得 x,y 异号,
易知 |x＋y|<|x－y|,|x－y|＝|x|＋|y|,
|x－y|>||x|－|y||,
∴选项C 成立, A、B、D 均不成立
〔2〕由于 |a|－|b|≤|a－b|,
细心整理归纳 精选学习资料
- - - - - - - - - - - - - - -
第 3 页,共 6 页
- - - - - - - - -
名师归纳总结 精品学习资料
- - - - - - - - - - - - - - -
所以
|a|－|b|
≤1,即 m≤1,
|a－b|
学习必备
欢迎下载
又由于 |a＋b|≤|a|＋|b|,
所以
|a|＋|b|
≥1,即 n≥1,所以 m≤1≤n.
|a＋b|
点评 ]肯定值不等式性质的重要作用在于放缩,放缩的思路主要有两种：分子不
变,分母变小,就分数值变大；分子变大,分母不变,就分数值也变大．留意放 缩后等号是否仍能成立．
类型二 含肯定值不等式的解法
解题预备： 如不等式中有多个肯定值符号, 一般可用数形结合和区间争论两种方
法．
1．数形结合是依据肯定值的几何意义在数轴上直接找出满意不等式的数,写出 解集,或构造函数,画出图象,由图象直接写出未知数的取值范畴,得出解集；2．分区间争论是先求出肯定值内因式的根,这些根把实数集分成如干个区间,在每个区间上解不等式,最终求出并集,即为原不等式的解集．
〔2〕解法一： |x＋1|>|x－3|,
细心整理归纳 精选学习资料
- - - - - - - - - - - - - - -
第 4 页,共 6 页
- - - - - - - - -
名师归纳总结 精品学习资料
- - - - - - - - - - - - - - -
学方得 〔x＋1〕2>〔x－3〕2,∴8x>8,∴x>1.
∴原不等式的解集为 {x|x>1} ．
解法二：分段争论
当 x≤－1 时,有－ x－1>－x＋3,此时 x∈.；
当－ 1<x≤3 时,有 x＋1>－x＋3,此时 1<x≤3；
当 x>3 时,有 x＋1>x－3 成立,∴x>3.
∴原不等式解集为.∪{x|1<x≤3} ∪{ x|x>3} ＝{ x|x>1} ．
类型三 含肯定值不等式的证明
解题预备： 把含有肯定值的不等式等价转化为不含有肯定值的不等式, 再利用比
较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉肯定值符号的常用方法是平方法．
证法二：当 a＝－ b 时,原不等式明显成立,
当 a≠ －b 时,
细心整理归纳 精选学习资料
∵|
1＋a 2－
1＋b 2|＝
| 1＋a 2 － 1＋b 2 |
第 5 页,共 6 页
1＋a 2＋
2
1＋b
<
|a 2－b 2|
≤
| a＋b a－b |
＝|a－b