数学10-绝对值不等式和无理不等式.docx

绝对值不等式和无理不等式
知识精要：
1、 绝对值的几何意义：国是指数轴上点X到原点的距离；|站一工2|是指数轴上与， 工2两点间的距离・。
2、 k|>Q与同<a型的不等式的解法。
当a > 0时，不等式国 > 的解集是知> a,+3》-8 < 4x ,
x~ + 3x — 8 > —4x
x + 3x — 8 < 4x
x > 1 或x < -8
^11-V33 1 + V33
< X <
2
原不等式的解集为(1「+顼)
2、
解关于x的不等式 7 > 2
|2x -3|
解：原不等式等价于〈
3
X —
2
5 7
〔4 4
3、
解关于x的不等式|2x -1| < |x + 2|
解：原不等式可化为(2x -I)2 <(X + 2)2
?. (2x-I)2 -(x + 2)2 <0 艮P (x — 3)(3x + 1)<0
1 、
解得：——<x<3
原不等式的解集为(-|,3)
4、
解关于X的不等式|4x-3|< 2a-l (czeT?)
解：(1)当2a —1<0 时,
(2)当2a —1〉0时,
解得：*
,即aM?,因|4x-3|>0,故原不等式的解集是空集。
,即a >|,原不等式等价于一(2a —l)<4x —3<2a —1
1 + Q
< X <
2 2
综上，当a<-时，原不等式解集为空集；当白> L时，不等式解集为
2 2
5、解关于x的不等式—1| — x < |x + 3| +1
x<-3
解：当x< —3时，得〈 ,今、1，无解
[—(2x -1) - x < -(x + 3) + 1
c 1 -3<x<- 3 1
当一3<xV —,得< 2 ，解得：一一一
2 [-(2x-l)f <x + 3 + l 4 2
1 x> — 1
当x> 一时，得< 2 ，解得：x>-
七 — 1 — x<x + 3 + l —
3 1
综上所述，原不等式的解集为(―—,—)
I x+3 I + I x-3 I >8.
解法一：由代数式I x+3 I、I x-3 I知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3<x<3, x>3.
当x<-3时，-x-3-x+3>8,即x<-4,此时不等式的解为x<-4；①
当-3<x<3时，x+3-x+3>8,此时无解；②
当x23时，x+3+x-3>8,即x>4,此时不等式的解为x>4.③
取①、②、③的并集得原不等式的解集为(x I x<-4,或x>4} .
解法二：不等式I x+3 I + I x-3 I >8表示数轴上与A (-3) , B (3)两点距离之和大于 8的点，而A, 、B的距离之和都等于6.
如下图，要找到A, B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位(这时距离之 和增加2个单位)，即移到点Bi (4),或由点A向左移1个单位，即移到点A】(-4) .
可以看出，数轴上点B| (4)向右的点或者点A] (-4)向左的点到A、B两点的距离之 和均大于8.
原不等式的解集为(x I x<-4,或x>4}.
解法三：分别画出函数yi= I x+3 I + I x-3 I和y2