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判断函数单调性的常见方法
一、 函数单调性的定义:
一般的，设函数y=f (X)的定义域为A,I£A,如对于区间内任意两
个值Xi、X2,
、当XKX2时,都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f (x)在区间I上是单 调增函数，判断函数单调性的常见方法
一、 函数单调性的定义:
一般的，设函数y=f (X)的定义域为A,I£A,如对于区间内任意两
个值Xi、X2,
、当XKX2时,都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f (x)在区间I上是单 调增函数，I称为函数的单调增区间；
、当Xi>X2时,都有f (XO>f (X2),那么就说y=f (x)在区间I上是单 调减函数，I称为函数的单调减区间。
二、 常见方法:
I、定义法：定义域判断函数单调性的步骤
取值：
在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X|、X2,可设XKX2；
作差(或商)变形：
作差f(xo-f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于
判断差的符号的方向变形；
定号：
确定差f(Xj-f(X2)的符号；
判断：
根据定义得出结论。
例：已知函数f (x) =x3+x,判断f(x)在(-8, +8)上的单调性并证明
解：任取 Xi、x2e +8), xi〈x)则
f ( X1 ) -f ( X2)=(X13+X1) - (x23+x2) =(X1-X2) +(X13-X23)
=(X1-X2)(X12+X22+X1X2+1)
=(X1-X2) [ ( Xi+1/2x2 ) 2+1+3/4x22]
x2£ (-°°, +8), xi<x2,
Xi-x2<0, (xi+l/2x2 ) 2+1+3/4x22>0
故 f (xi) -f (x2) <0,即 f (xi) <f (x2)
f (x)在(-8, +8)上单调递增
II、 直接法(一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出):
函数y=-f (x)的单调性相反
函数y=f (x)恒为正或恒为负时，函数y=f (x)的单调性相反
在公共区间内，增函数+增函数二增函数，减函数+减函数二减函数
例：判断函数y=-x+l+l/x在(0, +8)内的单调性
解：设 yi=-x+l, y2=l/x,
,「y