函数求值域的方法.doc

不同函数类型值域求解方法归纳
题型一：二次函数的值域：配方法(图象对称轴)
(x) = x2 -ax + 6的值域
， 、2 2 2
解答：配方法：f(x)= x -ax + 6 = x-— +6- — >6~ —
a2+ 1画对勾函数图像,
可得t + ~的值域范围是2，s ,则函数的值域为3,"
题型四：三角函数的值域
求三角函数的值域方法：(1)二次换元配方；(2)三角函数有界性；
数形结合(单位圆求斜率)。
例：求函数f(X)= 3sinx + 4cosx + 2的值域
解答：使用辅助角公式， /(x) = 3sinx + 4cosx + 2 = 5 sin(x + (p) + 2,可
知函数的值域为[3,7]
f (x) = 3sin2x + 4cos2x + 2 的值域
解答：先化简，再转为一次三角函数后使用辅助角公式，
/(x) = 3sin2x + 4cos2x + 2 = 3 sin 2x + 2 cos 2x + 2 + 2 = V13 sin(2x + °) + 4 可知函数的值域为 4 - 713,4 + Vis]
(x) = cos2x + 4cosx + 2的值域
解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。
/(x) = cos2x + 4cosx + 2 = 2cos2 x-1 + 4cosx + 2-2cos2 x + 4cosx + 1
令r = cos[—1,1],则原函数化为2产+41 + 1 = 20 + 1)2—1,则按前面 的例题可得函数的值域为[-13],
f(X)= sin2x + 2cosx - 2 sin x 值域
/(x) = 2 sin x cos x 一 2(sin x 一 cos x) = 1 - (sin x 一 cos)2 一 2(sin x 一 cos x) 令r = sin x - cos x,te [- V2,72 ],则原函数化为一户一 2r + l,同理，按 二次函数的值域求法，可得结果[一1一丁公2_|。
. (sinx+cosx)2 -1 l-(sinx-cosx)2
注意：用S1MCOW = = 换元。
题型五：绝对值函数的值域：
绝对值函数值域：(1)零点分类讨论法(2)数形结合：利用绝对值几何意义。
(x) = |x + 5|-|x-l|的值域
解法一：零点分类讨论法。当x Z1时，/(x) = 6 ；当%<-5时，f⑴=-6 ；
当—5<x<l时，f(x) = 2x + 4o所以函数的值域为［一6,6］
解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，|x + 5|与|x-l|分别表示x到-5
与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为［-6,6］
(x) = X1 + 2x — x1 +2x —3的值域
解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令t = X2+2x,tE ［-l,+oo),贝IJ
原函数化为|4-|，-3|,则根据数轴法，可以得到函数的值域为［-3,3］
题型六：根式函数的值域
根式函数的值域方法：(1)代数换元法；(2)三角换元法；(3)解析几何法：
距离、切距等。(3