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四面体外接球的球心、半径求法
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为。，勿C,则体对角线长为
I = ^a2+b2+c2 ,几何体的外接球直径2R为体对角线长I
其长度分别为棱长。（答案为：扼）
【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。
二、球与棱柱的组合体问题
正方体的内切球：
图5
球与正方体的每个面都相 切，切点为每个面的中心，显然
球心为正方体的中心。设正方体的棱长为。，球半径为A。
如图3,截面图为正方形EFGH的内切圆，得R = --,
2
与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆。为
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正方形EFGH的外接圆，易得R = —a .
2
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5,以对角面AA作截面图得，圆。为矩
V3
形&&G。的外接圆，易得R = A<9 =亍。。
、A、B、、PB、PC两两互相垂直，且PA = PB = PC = a, 那么这个球的表面积是.
解：由已知可得FA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长
就是球的直径，连结过点。的一条对角线CD,则CD过球心。，对角线CD = 43a
S球表面积=4互‘ —-a =3兀,(T
练习：一棱长为2“的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不
(答案为V
CL
2
构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直 角三角形便可得球半径。
-A^C,的六个顶点在球。上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求
球Q与球。2的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6,由题意得两球心0、。2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱&勺和它们的球心作截面，
73 Ci
设正三棱柱底面边长为。，则R. = —a，正三棱柱的高为 - a
2 6 „ 也
:.Ri = : S2 = R： ： R； =5:1, :V2 = 5y/~5 :1
练习：正四棱柱ABCD-AXBXCXDX的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。
(答案为：4扼夫2)
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、 线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数 量关系，是解决这类问题的最佳途径。
勾股定理知，假设正四面体的边长为。时，它的外接球半径为—
4
平面向量
重点知识回顾
向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母&、片等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与X
轴、y轴方向相同的两个单位向量；、j作为基底。任作一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有
一对实数工、y,使得a = xi +yj , J7)叫做向量。的(直角)坐标，记作a = (x, y),其中x叫做。在
x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标，特别地，i =(1,0), j =(0?1), 6 = (0,0) o \a\ = ^x2 + y2 ； 若人(王，力)，3(》2，＞2)，则 AB = (》2 - 羽，＞2 - ＞1)，\AB\= y/(x2- x,)2 + (y2- yty
零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为6;②长度为1个单位长度的向量，叫单
位向量.(注：M就是单位向量)
\a\
平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②、
5平行，记作a//b //：平行向量就是共线向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
向量的基本运算
(1) 向量的加减运算
几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设 a =(xi, yi), b = (x2, y2)则 a+b= (xi+x2, yi+y2) a-b= (xi-x2, yi~y2)
(2)平面向量的数量积：\b\ cos0
设 a = (xi, yi), b = (x2, y2)贝I a • b=xix2+yiy2
(3)两个向量平行的充要条件a// b^a=X b
一 r 一 r
若 4 = (xi, y), 8 = (x2, yj,则 a // Xiy2-x2yi=