抽样和抽样分布.docx

抽样的基本概念
抽样就是从所研究的对象中随机地抽取出其中的一部分来观察，由此而获得有关总体的 信息。
在对总体进行研究时，进行抽样研究是非常重要的。尤其是对于许多实际工作来说，要
b2
前面提到的。2 =一，只适用于无限总体，以及从一个有限总体中中进行重复抽样的 xn
情形。但在实际工作中往往是采用不重复抽样或不放回抽样的方法。在这种情况下，总体的 数量会不断减少，总体中各元素被抽中的概率也将发生变化。因此在这样的情况下就需要进 行修正。
若抽样的总体是不重复抽样，样本平均数的抽样分布的平均值x就等于总体的平均值
U，而标准差则为：
b :N — n
b- =
x ■< n\ n — 1
当样本容量足够大时，即大到可以应用中心极限定理时，样本平均数的抽样分布将逼近 正态分布。
c ' N — n c
-^v'——与『相比，多了一个v——。这里N为总体容量，n为样本容量，
"N — 1 方 N — 1
■N — n ，N — n
k 称为修正系数。当牌艮大时，根号里分母的N可以不用减1，
n ■1 -— :N


在我们的工作中，常常需要考虑在一个总体中，具有某种性质或特征的对象所占总体的 比例是多少的问题。例如，在数量为N的总体中，合格品数量为N1，不合格品数量为N2, 显然，N = N1 + N2。我们可以用p = N1/N2表示总体中合格品所占的比例。显然，总体 的参数p是未知的，它是需要我们通过样本来估计的。因此，假设从总体中抽取容量为n 的一个样本，从中得到的合格品数量为n1，则n1/n为合格品的样本比例，用~表示。由于 每次从抽取容量为n的样本的不同，其中合格品的数量也不相同，因此万也就是一个随机 变量，从而它也构成一个样本分布。
样本比例的抽样分布与二项分布有着非常密切地关系。可以将二项分布总体中具有某种 属性的的单位称为“成功”，不具有的称为“失败”；将总体中成功的单位占全体的比例记为 p。与之类似，将样本中成功的单位占全体样休的比例记为~。可以证明，样本比例的均值 就是总体的均值p，其方差为：
。~ 二四二四尘
p n n
由于，当样本容量较大时，二项分布就接近于正态分布，因此在大样本的情况下，样本 比例的抽样分布将近似服从正态分布。除要求n比较大外，还要求p不要接近0或1，并且 要满足np或n(1-p)大于5。
上述情况适合于从无限总体中抽样或从有限总体中进行重复抽样的场合。如果从有限总 体中进行不重复的抽样时，而且抽样的比重较大时，即n/N>，样本比例抽样的方差就 要进行修正，其公式为：
b 2
P
例:
.
pq N - n p(1 一 p) N - n
一；N -1 一 nN -1
PP151，例
两个样本比例之差的抽样分布
如果需要对来自两个不同总体的比例进行比较，就需要研究考虑两个样本比例之差的问 题。设有两个总体，它们中具有某种特征的单位数所占的比重分别为p1和p2,现在从这两
... ... .. .... - **** ****
个总体中分别抽取容量为n1和n2的丙个独立的随机