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函数方程的几种常见解法
杨昌海 摘 要: 本文介绍了函数方程、复合函数及与函数方程有关的一系列的定义,准确分析了函数方程f[g(x)]=h(x)应满足的条件及有解的条件;然后说明了解高斯函数方程的解法特点;最后通过列举实例,说明函数方程的几种常见解法
杨昌海 摘 要: 本文介绍了函数方程、复合函数及与函数方程有关的一系列的定义,准确分析了函数方程f[g(x)]=h(x)应满足的条件及有解的条件;然后说明了解高斯函数方程的解法特点;最后通过列举实例,说明了解函数方程的常用方法.
关键词: 函数方程 复合函数 解法

一、函数方程f[g(x)]=h(x)的解法
[g(x)]=h(x)的有解条件
由函数、复合函数的概念知,该方程的解f(u)同时具备下述特征:
(1)f(u)是非空数集D到非空数集M上的一个满射(M中每一个元素都有原象).
(2)y=f(u)、u=g(x)的复合函数f[g(x)]存在,即函数f(x)的定义域与函数g(x)的值域之交集是非空数集.
(3)f[g(x)]=h(x)的解不仅使等号两侧的函数f[g(x)]、h(x)保持对应法则相同,而且使它们的定义域(E?勐E=E)相同、值域相同.
因此,当满足方程的对应法则f(x)不存在,或其存在但至少与上述三点之一相悖时,此方程无解.
当满足方程的对应法则f(x)存在,具备上述三点,且D=D时,此方程有唯一解.
当满足方程的对应法则f(x)存在,具备上述三点,且D?奂D时,此方程有无穷多个解.
[g(x)]=h(x)的解法
在解此类函数方程时应严格按照以下步骤.
(1)根据函数方程f[g(x)]=h(x)有解的条件判断函数方程是否有解,若有解,解的个数又是多少.
(2)用换元法求出其解.
(3)检验所求出的解是否满足复合函数中的定义域、值域之间的关系.
例1:已知f()=lg(2x+1),f(u)是定义在(-∞,-5)∪(1,+∞)上的函数,求f(u).
误解:设=u,则x=,代入已知等式得:
f(u)=lg(+1),
∴f(u)=lg,u∈(-∞,-5)∩(1,+∞)为所求.
此题的解法看上去是准确无误,实际上是忽视了此方程有解的条件,主要原因是E=(-,+∞),E?哿E=(-∞,0)∪(0,+∞),必有E≠E,因此,本题也无解.
二、求解高斯函数方程的几种方法
函数f(x)=[x]叫做高斯函数,其中[x][x]的方程叫做高斯函数方程,下面就通过举例说明一些解高斯函数方程常用的技巧.
[f(x)]=f(x)-a,0≤a<1的性质
由定义可知[f(x)]=f(x)-a,0≤a<1,我们巧用这一结论,可以解方程两边都是关于x的同次的问题,快捷简明.
例2:方程[3x-4]-2x-1=0的解是 .
解:因为[3x-4]=(3x-4)-[x-5],
所以0≤x-5<1,解得5≤x<6,从而得≤2x+1<.
由2x+1∈Z,得2x+1=13、14,故x=6或x=6.
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