线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化.ppt

线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化
定理6 设 是 的 个互异的特征值， 是 的属于 的 个线性无关的特征向量线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化
定理6 设 是 的 个互异的特征值， 是 的属于 的 个线性无关的特征向量， ，则
也线性无关。
定理6是说当 有多重特征值时，若每个特征值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其也可以对角化。
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定理7 设 是 的一个 重特征值，对应的特征向量线性无关的最大个数为 ，则
也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其对应的特征值的重数。
定理8 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的每个 重特征值 对应有 个相形无关的特征向量。即
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例题
例1 设 试问 可否对角
化？若能，求出相应的矩阵 。
解：由 可得 的特征值为
（二重）
求解特征向量，分别求解
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可得 对应的特征向量分别为
即 由三个线性无关的特征向量，从而由定理4， 可以对角化。
令
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则有
若令
则也有
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但是若令
则应有
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例2 设 ，而
问 可否对角化？
解 因为
即 是 的 重特征值。而由
知 ，即 的线性无关的特征向量的个数不超过 个，因此，由定理8知， 不可以对角化。
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例3 设
（1）问 可否对角化？若能，求出相应的
，使得 为对角阵。
（2）求 。
解 由
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显然 由两个不同的特征值1，2，所以
可以对角化。
当 时，解方程组
解得其基础解系为
当 时，解方程组
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解得其基础解系为
令
则有
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（2）当 较大时，直接计算 时不容易的，如果记
则由 ，可得
于是
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而因为
所以
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THANKS
谢谢聆听