实验三用单摆测重力加速度.doc

实验三用单摆测重力加速度
【实验目的】
本仪器可以通过固定单摆摆长测量振动周期，计算重力加速度g;
可逐次改变摆长测出相应的周期，研究单摆的周期与摆长的关系；
研究单摆周期与摆的质量关系；
本实验仪取摆角% <45。的范围，较精确实验三用单摆测重力加速度
【实验目的】
本仪器可以通过固定单摆摆长测量振动周期，计算重力加速度g;
可逐次改变摆长测出相应的周期，研究单摆的周期与摆长的关系；
研究单摆周期与摆的质量关系；
本实验仪取摆角% <45。的范围，较精确地反映周期与摆角之间的关系。
【实验仪器】
DB-2大学单摆仪 J-25周期测定仪 米尺 游标卡尺
【实验原理】
周期与摆长的关系
单摆：一根不会伸长的轻质细线上端固定、下端系体积很小的重球。给小球一个摆角。后释 放，小球在平衡位置往返作周期性摆动。不计空气浮力和摩擦阻力时，回复力F,=—mg sin °。 当角位移很小（W5° ）时，Ft w—mg。
必（展） 抑 g
m— = -mgO —=——0
dt2 dt2 L
令口 2=g,得摆球的动力学方程：竺 + 口2。= 0
L dt2
可见摆角很小时（e <5° ）的运动是简谐振动，其周期：T = - = 2n\-
® \g
由此重力加速度：g = 4兀2奈 （1）
注：该公式是在未考虑小球的体积、摆动的角度、空气浮力及空气阻力的情况下得到的。
当然，这种理想的单摆实际上是不存在的，因为悬线是有质量的，实验中又采用了半径为 r的金属小球来代替质点。所以，只有当小球质量远大于悬线的质量，而它的半径又远小于悬 线长度时，才能将小球作为质点来处理，并可用（1）式进行计算。但此时必须将悬挂点与球心 之间的距离作为摆长，即L=L+r,其中乙为线长。如固定摆长L,测出相应的振动周期T,即 可由（1）式求g。也可逐次改变摆长Z,测量各相应的周期T,再求出户，最后在坐标纸上作 尸-Z图。如图是一条直线，说明尸与Z成正比关系。在直线上选取二点PAL, Th, PU, T；）,
2 2 人 2
由二点式求得斜率k 一丁2 -T］；再从k = ^-求得重力加速度，即
L： ~L1 S
g = 4/4^4 ⑵
T； -T：
周期与摆角的关系
在忽略空气阻力和浮力的情况下，由单摆振动时能量守恒，可以得到质量为刀的小球在摆 角为。处动能和势能之和为常量，即：
-j mL2 + mgL （1 - cos。）= E ° ⑶
式中，Z为单摆摆长，。为摆角，g为重力加速度，，为时间，为小球的总机械能。因为小
球在摆幅为。”处释放，则有：
E。=*（l-cosq）
代入（3）式，解方程得到
与T = 匹 — （4）
4 \ g ° -yjcos 0 - cos 0 m
（4）式中丁为单摆的振动周期。
令左=sin（久/ 2）,并作变换sin（0 / 2） = * sin仞有
这是椭圆积分，经近似计算可得到
(5)
在传统的手控计时方法下，单次测量周期的误差可达0. 1-0. 2s,而多次测量又面临空气阻
1 a
尼使摆角衰减的情况，因而（5）式只能考虑到一级近似，不得不将-sin2（^）项忽略。但是, 当单摆振动周期可以精确测量时，必须考虑摆角对周期的影响，即用二级近似公式。