余弦定理课件.ppt

1．　余弦定理
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝ .
2．若α为锐角，则cos α 0；若α为钝角，则cos α 0；若α为直角，则cos α 断解的情况进行取舍．两种方法各有优劣．
已知三边(或三边关系)解三角形
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5, 求最大角和sin C.
【思路点拨】　先确定最大角，再用余弦定理求出其余弦值从而求出最大角，最后用正弦定理求sin C.
已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理求角时，角是唯一确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解．
2．在△ABC中，已知(sinB＋sinC)：(sinC＋sinA)：(sinA＋sinB)＝4∶5∶6，求△ABC的最大角．
判断三角形的形状
在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
且2cos Asin B＝sin C，确定△ABC的形状．
【思路点拨】　既可以将条件统一为边的条件，利用边的关系进行判断，也可以将条件转化为角的关系，通过角来判断．
判断三角形的形状，通常有两个途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结论．在两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．在△ABC中，bcos A＝acos B，试判断△ABC的形状．
【解析】　方法一：(利用余弦定理的推论将角转化为边)
∵bcos A＝acos B，
∴b·＝a·，
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2，a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
方法二：(利用正弦定理将边转化为角)
∵bcos A＝acos B，又b＝2Rsin B，a＝2Rsin A，
∴2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
∴sin(A－B)＝∵0＜A，B＜π，
∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
正、余弦定理的综合应用
如图，在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，四个内角A、B、C、D的度数之比为3∶7∶4∶10，求AB的长．
【思路点拨】　先根据内角和为360°求出各内角的大小，在△BCD中，由余弦定理求BD，再在△ABD中，用正弦定理求AB.
解多边形的问题，要通过作辅助线转化为三角形中的问题，并根据给出条件选择余弦定理或正弦定理求解．本题中求∠ADB的度数是关键，要善于挖掘隐含条件BC2＋BD2＝∠BDC的度数．
4．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
1．余弦定理证明的其他方法
(1)用坐标法证明余弦定理
如图：以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA，bsinA)，
由两点间距离公式得
BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccosA.
同理可证：b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
(3)余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例，两者反映了特殊与一般的关系，从特殊到一般的学习过程，是认识事物的最基本的规律．
(4)由余弦定理以及余弦函数的公式知：①在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则0°＜A＜90°；反之，若0°＜A＜90°，则a2＜b2＋c2.②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则90°＜A＜180°；反之，若90°＜A＜180°，则a2＞b2＋c2.
3．解三角形问题的类型归纳
解三角形的问题可以分为以下四类：
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．
此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．
(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．
此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
(3)已知两边和