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冰山运输数学模型
摘要
当今社会，水资源短缺已成为世界性问题，水资源紧张地区正不断扩大，除 淡化海水的方法外，专家提出从相距9600千米以外的南极托运冰山到波斯湾， 将其化成冰水从而取代淡化海水作为国民用水。本文所要解决的是选择合适的拖忽略温度对冰山融化的影响。
：
符号
符号说明
拖船的日租金（小、中、大） / = 1,2,3
V
拖船的速度
T
拖船到达波斯湾所用的总时间
t
距离南极为』时所需的时间
s
冰山融化速率
d
拖船与南极的距离
D
南极到波斯湾的总距离
q。
每千米燃料消耗费用
q
每天燃料消耗费用
Q
燃料消耗的总费用
M
拖船到达波斯湾所用租金
R。
冰山原来的半径
Rt
冰山融化后的半径
N。
冰山开始的体积
N
变化后冰山体积
y
每立方水所需费用
Y
拖船到达波斯湾时所需的总费用
4 .模型建立
本文的目的是选择出拖船的最适船型与船速，使冰山到达目的地后，可 以得到的每立方米水所花的费用最低，通过问题分析可以分别从冰山的融化规 律、燃料消耗费用、冰山运输的总费用、冰山到达目的地可获得的水体积和每立 方米水的费用建立数学模型。

假设运输过程中距离南极的距离为日上彻，拖船的船速为Vkm]h ,融化速率
为S ,由表三可以得到如图1。
通过图1,很明显看出：当距离0<d<4000km时，融化速率S不仅与船
速v成线性关系，而且也与距离』呈线性关系，也就是说，船速越快，距离越远,
冰山接触的温度越高，导致它融化越快；当d >4Q00km时，距离对融化速率
的影响忽略，没有影响，所以这时融化速率S只与船速v呈线性关系。那么通过
数据拟合公式可设融化速率S的函数关系式为:
k{d(k2v + b^ 0<d<4000 k^y+b
6/>4000
(1)
然后将表2相关数据代入可得到:
扁'*2=°・°7景=
当拖船从南极出发行走f天时，与南极距离为
d = 24讨
(2)
由（1）、（2）及kvk2,b的值得:
1
125
<
W( +)
0<r<^2
+
500/, <400
(3)
接下来求变化后冰山体积
设第f天冰山半径为虬,体积为N,则
Rt=R&_，Sdt
(4)
N =气昭N&=气琼
(5)
其中夫°,邕为从南极启运时冰山的开始半径和体积。
由（4）、（5）得冰山体积为:
心争匹

由表2中的数据，通过Matlab拟合可得图形如图2所示:
(6)
由图可知每千米燃料消耗量q0与船速v和冰山体积N的对数呈线性关系, 则可设其函数关系式为：
00=°1（羽 +。2）（蛆"+ 乌） （7）
其中CVC2,C3为待定参数，根据表2中数据可求得
C] = ,= 6,= _ ]
所以
% = # + 6）（也"一1） （8）
则每天燃料消耗量为
q = 24v-qQ （9）
把（2）式代入（3）式，再根据（6）式得
0 = + 6）lg琴《静一『力尸-1 （10）
所以，总燃料消耗量为
Q= f g出=, + 6)1g
Sdt}

冰山运输的总费用是由租金的总费用和燃料消耗总费用相加。由表1知船的 日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积地决定，记日租金为m(NQ, 则有
(12)
N°< 5x105 m(N0) = < 5x105<Nq<106
106<A^0<107
又冰山运输总时间为:
D 9600 400
(13)
所以租金总费用为:
(14)
M=m(N0)T=^-m(N0)
由(11)、(8)式可得冰山运输总费用为
y = M + 2 = 492m(2V0)+(v+6)lg T 力
"I ) (15)
：
W = = )3 (16)
:
母秫(％)+(v + 6)1g 竽(,
y=w
Sdt)3 -1 dt
J J
*偿
SdtV
(17)
.模型求解
首先，对（3）式进行积分运算，有
500 1 400
£$力=『去W（+ + JX（+（18）