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利用导数证明不等式
作者：湖北省仙桃中学2013届考生：张迟
在2010、2011、2012年高考中，湖北省压轴题均为利用导数证明不等式。因此，作为2013届毕业生，我们应该掌握一些技巧。2010年考察对数不等式，2011、2012年考满分14分）
解：（I）
（II）由（I）知，
令
则
（i）当
若是减函数，所以
即上不恒成立.
（ii）当
若是增函数，所以
即时，
综上所述，所求a的取值范围为

整理得
解法二：用数学归纳法证明.
（1）当n=1时，左边=1，右边不等式成立.
（2）假设n=k时，不等式成立，就是
那么
实战演练
（2010龙泉中学模拟）设函数在[1,+∞]上为增函数.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：
（Ⅰ）[1,+]（Ⅱ）参考例1
已知函数是在上每一点处均可导的函数，若在上恒成
立.
（Ⅰ）①求证：函数在上是增函数；
②当时，证明：；
（Ⅱ）已知不等式在且时恒成立，求证：
…
【解析】（Ⅰ）①由，，由可知在上恒成立，
从而有在上是增函数。
②由①知在上是增函数，当时，有
，于是有：
两式相加得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）②可知：，（）恒成立
由数学归纳法可知：时，有：
恒成立
设，则，则时，
恒成立
令，记
又，
又
3.（2011年湖北卷21题）（本题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；
（Ⅱ）设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则.
【答案】
（Ⅰ）解：的定义域为. 令，，，所以在内是增函数；
当时，，所以在内是减函数；
故函数在处取得最大值.
（Ⅱ）证法1：（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即.
∵，，从而有，得.
求和得.
，，即.
（2）①先证.
令，则，
于是由（1）得，即，
.
②再证.
记，令，则，
于是由（1）得，
即，∴.
综合①②，（2）得证.
证法2：（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即.
因为，所以.
又由，得.
于是由，可得
，即.
（2）①先证.
由（Ⅰ）知，当时，有，即.
所以当时，有，即.
从而由，有.
因为，且，所以
，
即，故.
②再证.
记，则同前可得，
于是
，即，故.
综合①②，（2）得证.
【说明】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 本题属于难题.
4.（2012年武汉市二月调研测试21题）（本小题满分14分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求函数上的最大值；
（3）证明：对，不等式恒成立。
（e为自然对数的底数）
（I）求p与q的关系；
（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（III）证明：
①；
②（n∈N，n≥2）.
解：（I）由题意
（II）由（I）知：，
令h(x)=px2－2x+(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分
①，
∴g(x)在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意.………………………5分
②当p>0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向上抛物线，
称轴为x=∈（0，+∞）.∴h(x)min=p－.只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0，
∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分
③当p<0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+∞），
只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+ ∞)恒成立.
∴g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）单调递减，∴p<0适合题意.
综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分
（III）证明：①即证：lnx－x+1≤0 (x>0)，
设.
当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；
∴x=1为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分
②由①知lnx≤x－1,又x>0，
∴结论成立.…………………………………………………………………………14分
（201