AHP (层次分析法)示例说明.docx

AHP (层次分析法)示例说明
(The Analgtic Hierarachy Process——AHP)
AHP预备知识
为了更好地理解AHP,需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。
。我们 可以证明:只要A的一致性不被满足，那么A的最大特征根2max-定比n大，即2max-w>0o （对于正互 反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到，忘补充）
令 «-1
显然，我们希望C/尽量小;但就是，C./•小到什么程度,才能使Anax与“对应的特征向量“归 一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍就是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回 答这个问题。为此,AHP发明者Saaty给出了平均一致性检验值 5 我们重复1000次，对随机判断 矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R、I、 0 0 0、52 0、89 1、12 1、26 1、36 1、41 1、46 1、49 1、52 1、54 1、56 1、58 1、59
CI
令 .=—
.
. < ，认为判断矩阵A的一致性就是可以被接受的。亦即当 .< .< ?./.时，就就是说，当给定的判断矩阵A = (a..)的一致性指标C、I、不超过平 均随机一致性指标R、I、的0、1倍时,认为判断矩阵A = («..)的一致性就是可以被接受的。言外之 意:此时的A的2max对应的特征向量“归一化”后，能给出”个物体"i，"2,…，"“按重量大小的真实 排序。明显瞧出这个回答不就是正面的，也有些令人难以置信。但就是，这已就是目前为止最好的回 答了，这也就是/HP理论上不够严谨的问题。不过,从应用角度讲，当G R、〈0、1时,排序的正确性 已为所有应用例子所证实。但就是，当G R、〉0、1时,AHP不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶 层次结构,或对判断矩阵A重新赋值。
—.AHP基本步骤
用AHP解决问题,有四个步骤：
1、 建立问题的递阶层次结构；
2、 构造两两比较判断矩阵；
3、 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；
4、 计算各层元素组合权重,并进行一致性检验。 下面通过一个应用实例说明AHP的每个步骤的实施。
例:某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G:改善该街区交通环境。有三种方案可供选择：刍：修
天桥或修高架桥；A2 :修地道；A3 :商场搬迁。
选择方案的准则有5个：C]:通车能力；C?：方便市民；C3 :改造费用；C4 ：安全性；c5 :市容美观。
决策步骤：
:
2、准则层
3、方案层
最高层:目标层G:改变交通环境
1、目标层
递阶层次结构中，每一层的每一个元素均就是下一层中每个元素的准则。

构造判断矩阵A = (o..)„x„,在单准则下分别构造，即在G下对q C2C3 C4C5,构造判断矩阵;分
别在q c2 C3 c4 C5下对4 A2 A3构造判断矩阵。
在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵A = (a/y)呢？即如何具体确定比值仙呢？在 AHP中比较常用的就是一一1-9比例标度法。
关于1-9比例标度法的说明：
"元素“申，…，"”，两两比较其重要性共要比较字次。第/个元素冷与第"元素知 重要性之比为a厂 通过使用标度比重，确定仙，一下就是标度值：
ai} = 1 表示％与知重量相同，或重要性相同；
a)j = 3 表示％比知稍重；
=5 表示冷比知明显重；
ai} =7 表示％比知强烈重；
cig =9 表示"：比知极端重；
数2、4、6、8则为上述判断的中值。
两两比较两个元素的重要性，总就是在某种准则(准则层比较就是以总目标G为准则，方案层比 较，分别以准则层中各元素为准则)下进行的。至于为什么取1-9比例标度，而不取别的，就是因为人 们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异，人的直觉就是分辨不出来的，而两两比较判断 矩阵就是领域专家靠感觉去分辨与构造的。从理论上讲，用1-15比例标度也未尝不可，只就是人的直 觉分辨不出。对”个物体，两两比较其重要性得判断矩阵A = («..)_,显然仙满足：
Q-〉0 , a” = —, ci ■ = 1
Uji
共计1)个判断，所以A就是正的互反矩阵，且对角线上元素为1,这样的n阶矩阵可表示
为上三角或下三角矩阵。但/的元素勺通常不具有传递性，即：
勺-ajk 丰 aik
这就是由事物的复杂性与人的认识的局限性造成的。如果式：
a