费马点-的两证明方法(同名16141).doc

费马点-的两证明方法(同名16141)
费马点 的两证明方法
费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在
费马点-的两证明方法(同名16141)
费马点 的两证明方法
费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下
2、当有一个内角大于等于120度时候
对三角形内任一点P
延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点
3、当所有内角都小于120°时
以A,C为焦点，AP+PC为长轴长，做椭圆，以B为圆心，BP为半径，做圆
我们先假定椭圆与原是相交的，并取他们公共部分内部一点P'
则P'在圆内也在椭圆内
所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切（不可能没有公共点吧，因为都过P）
做他们的公切线，并作直线BP，显然BP与公切线垂直
由椭圆的几何性质易知，BP平分角APC，所以∠APB=∠CPB
同理有∠APC=∠CPB
所以∠APC=∠APB=∠CPB=120°
即为费马点