第1讲双层玻璃的功效.doc

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 1 双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的,即窗户上装两层厚度为d 的玻璃夹着一层厚度为 l 的空气, 如左图所示, 据说这样做是为了保暖,即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失) 过程, 并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗( 如右图, 玻璃厚度为 d2 ) 的热量传导进行对比, 对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。一、模型假设 1. 热量的传播过程只有传导, 没有对流, 即假定窗户的密封性能很好,两层玻璃之间的空气是不流动的; 2. 室内温度 1T 和室外温度 2T 保持不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数; 3. 玻璃材料均匀,热传导系数是常数。数学建模入门——双层玻璃窗的功效 2 二、符号说明 1T ——室内温度 2T ——室外温度 d ——单层玻璃厚度 l ——两层玻璃之间的空气厚度 aT ——内层玻璃的外侧温度 bT ——外层玻璃的内侧温度 k ——热传导系数 Q ——热量损失三、模型建立与求解由物理学知道,在上述假设下,热传导过程遵从下面的物理规律: 厚度为 d 的均匀介质, 两侧温度差为 T?, 则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为 Q ,与 T?成正比,与 d 成反比,即 d TkQ ??(1) 其中 k 为热传导系数。 1 .双层玻璃的热量流失记双层窗内层玻璃的外侧温度为 aT , 外层玻璃的内侧温度为 bT , 玻璃的热传导系数为 1k , 空气的热传导系数为 2k ,由(1) 式单位时间单位面积的热量传导(热量流失)为: d TTkd TTkd TTkQ bbaa212 11??????(2) 由d TTkQ a?? 11及d TTkQ b21??, 可得 1 212)(k Qd TTTT ba????, 再代入d TTkQ ba?? 2 就将( 2 )中 aT 、 bT 消去,变形可得: 数学建模入门——双层玻璃窗的功效 3 ?? d lhk khssd TTkQ?????,,2 )( 2 1211(3) 2 .单层玻璃的热量流失对于厚度为 d2 的单层玻璃窗户,容易写出热量流失为: d TTkQ2 211???(4) 3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较( 3)( 4 )有: 2 2???sQ Q ( 5) 显然, QQ ??。为了获得更具体的结果,我们需要 21,kk 的数据,从有关资料可知, 不流通、干燥空气的热传导系数 4210 ???k , 常用玻璃的热传导系数 33110 8~10 4 ?????k ,于是 32 ~16 2 1?k