方程有两个相等实数根与方程有两个实数根探讨 解一元二次方程时，对于求根公式,当△=0 时，一元二次方程有两个相等的实 数根可否改为有一个实数根学生产生了困惑。经过同学们归纳梳理之后，形成了 如图像 y ax 2 bx c（a、b、c 是常数，a 0 ）与平面直角坐标系中 b 4ac b2 x 轴交点的横坐标。于是对二次函数进行配方后可得 y a(x )2 （a、b、 2a 4a2 b 4ac b2 c 是常数，a 0 ），其顶点坐标为（ , ）。由于二次函数 y ax 2 bx c（a、 2a 4a2 b、c 是常数，a 0 ）的图象是一条抛物线，而二次函数的图象位于平面直角坐标 系的哪一象限，与二次项系数 a，一次项系数 b，常数项 c 有密切的联系。 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向。当 a﹥0（a﹤0），抛物线开口向上（向 下）。一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线 b b y ax 2 bx c 的对称轴是直线 x ，故 b=0 时对称轴为 y 轴。 0 时，a,b 2a ab 同号，对称轴在 y 轴左侧； 0 时，a,b 异号，对称轴在 y 轴右侧。常数项 c 的 a 大小决定二次函数图象与 y 轴交点的位置。当 x=0 时，y=c，所以抛物线与 y 轴有 且只有一个交点(0,c)；当 c=0 时，抛物线经过原点；当c﹥0 （c﹤0）时，抛物线 与 y 轴交与正（负）半轴。 从以上分析可以知道，确定二次函数图象的位置可以由二次项系数 a，常数项 b 4ac b 2 c 与顶点坐标（ , ）共同来确定。a 决定图象开口方向；c 决定图像与 y 2a 4a 2 轴的正半轴、原点、负半轴相交；顶点坐标决定图像的最大值与最小值。函数图 象与 x 轴有交点即一元二次方程有实数根，函数图象与 x 轴无交点即一元二次方 程没有实
