高三数学五道题详解.doc

1. 数列 a n 满足 a 1 =1, a n+1 =2 a n +1, 求 a 4. 题目给的式子 a n+1 =2 a n +1 是等比数列形式, 以后碰着这种题可以用待定系数法这种通法来构造等比数列: 设常数 p, 在等式两边同时加 p,即 a n+1+p =2 (a n +1 /2+ p /2) 这就构成了“ b n+1 =2 b n”的形式,即 p =1/2+ p /2 解得 p =1 这样式子就变成了 a n+1 +1 =2 (a n+ 1) 很容易看出,“ a n+1”是一个以 2 为公比的等比数列. 至于首项,题目中给了“ a 1 =1 ”, 所以 a n+1 的首项应该是 2. 根据等比数列定义,a n+ 1=2 n,故 a n =2 n -1a 4 =15 △ ABC 中,a=(√ 5/2 )*b, A= 2B, 求 cosB 一般遇见这种问题首先想到的应该是正弦定理. 对于式子“ a=(√ 5/2 )*b”, 用正弦定理变成 sinA=( √ 5/2 )sinB 因为题目给了“ A=2B ”,故 sin2B=( √ 5/2 )sinB 拆开 sin2B, 即 2sinBcosB=( √ 5/2 )sinB 因为 sinB 不可能为零, 所以两边可以同时消去 sinB, 即 2cosB= √ 5/2 所以 cosB= √ 5 /4 3. 已知△ ABC, (1) cosBcosC - sinBsinC= 1/2 ,求∠ A 的度数; (2) 若 a =2 √ 3,b+c =4 ,求 S △ ABC . 对于(1), 别被大长式子吓着, 先把 cosBcosC - sinBsinC 化成 cos(B+C), 这样就有 cos(B+C)=1/2 B+C 这个介于 0到π的余弦等于 1/2, 那么一定有 B+C= π/3 在△ ABC 中, 一定有 A+B+C= π,故 A=2 π/3 对于(2), 你已经知道了 A 的度数, 又知道了 a 的长度, 就可以活用余弦定理解决了. 题目中给了 b+c, 于是写出余弦定理式子 b 2+c 2 -2 bc cosA= a 2 把式子 b+c =4 两边同时平方,得 b 2 +2 bc+c 2 =16, 即 b 2+c 2 =16-2 bc 把这个式子带入上边的式子, 消去 b 2+c 2,得 16-2 bc -2 bc cosA= a 2 因为 A与 a 都是已知的, 所以有 16-2 bc+ bc= 12 解得 bc =4 以前的知识可以知道, 如果三角形的一个所夹已知角的两边长度已知, 那么三角形的面积也是已知的, 公式是 S △ ABC =(1/2)*bcsinA 其中 bc=4, A=2 π/3,故S △ ABC =√ 3 4. (1) 等比数列 a n中 a 2 =2 ,a 5 =128 , 求通项 a n; (2) 若 b n =log 2a n, 数列 b n 的前 n项和 S n =360, 求 n. 对于(1), a n 是个等比数列, 那么 a 5 除以 a 2 就是公比 q的 3 次方,即 q 3 =64 公比奇数次幂是正数, q =4 通过 a 2 =2 可得首项 a 1 =1/2, 所以通项很容易求得: a n =(1/2)4