基本概念与抽样分布.ppt

关于基本概念与抽样分布
第一张，共五十八张，创建于2022年，星期二
一、基本概念
1. 总体
总体中每个成员称为个体.
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)，
…
研究某批灯泡的质量
计量.
不是统计量.
统计量的两重性
(1). 统计量f(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量,他有确定的概率分布－抽样分布。
(2). 经过一次抽样否， f(X1,X2,…,Xn)又是由样本值(x1,x2,…,xn)确定的一个统计值。
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样本k－阶原点矩
样本k－阶中心矩
k=1,2,…
它反映了总体k 阶矩
的信息
它反映了总体k 阶
中心矩的信息
2. 常用的统计量（样本矩）
(1). 定义
它们均是随机变量
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样本均值
样本方差
它反映了总体
均值的信息
它反映了总体
方差的信息
k=1时， A1称为样本均值
k=2时， B2称为样本方差
更加常用简称为样本方差
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(2). 矩的性质
性质1.
由大数定律可知
大样本条件下，一次抽样后样本均值、方差可作为总体的均值、方差的近似。
一般地，抽样分为大样本和小样本问题。
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性质 2.
证
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推论
证
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3. 次序统计量
(1). 定义
即：X(k)的取值x(k)为(x(1) ,…,x(n) )按从小到大的次序重新排列后第k个位置的数，
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(2). 最小、最大的分布
另外，(X(1),X(2),…,X(n))联合密度
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(3). 中位数、样本极差
中位数
样本极差
次序统计量、中位数、样本极差都是统计量。
极差可以反映样本值变化的程度或离散程度。
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例1. 用Excel计算下列样本中位数、均值、方差、标准差、极差.
解
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4. 经验分布函数
(1). 定义
当给定次序统计量的一组值
定义对
称Fn(x)为总体X的经验分布函数。为样本值不超过x的频率。
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经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布.
样本直方图可以描述.
(2). 经验分布函数的性质
10. 具有通常分布函数的三个性质,图形呈跳跃上升；
20. Fn(x)是一个随机变量；
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30. 经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)的关系
格列汶科(Glivenko)定理：
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三、 抽样分布
统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” .
抽样分布
精确抽样分布
渐近分布
(小样本问题中使用)
(大样本问题中使用)
抽样分布是由一个统计量(随机变量函数)的分布. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.
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由实际问题与中心极限定理可知，讨论正态总体的样本统计量的分布非常必要。
1. 正态总体X与样本线性函数的分布
(1) 总体X～
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(2) (X1, … ,Xn)来自总体X～
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设 X1, … ,Xn～N(0,1)且相互独立,则称随机变量：
是由正态分布派生出来的一种分布.
(1). 定义
所服从的分布为自由度为 n 的
n为独立随机正态变量的个数, 也称为
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其中 Γ(x)为伽玛(Gamma)函数
具有如下性质：
可由数归
法得到
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10 .   设X1, … ,Xn～
则 E(X)=n, D(X)=2n
由定义知
E(Xi)=0, D(Xi)=1
= n
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