定积分计算.ppt

关于定积分计算
第一张，共三十八张，创建于2022年，星期二

解:
（一）直接积分法
第二张，共三十八张，创建于2022年，星期二

解:
（一）凑关于定积分计算
第一张，共三十八张，创建于2022年，星期二

解:
（一）直接积分法
第二张，共三十八张，创建于2022年，星期二

解:
（一）凑微分法
第三张，共三十八张，创建于2022年，星期二
（二）定积分的换元积分法
定理
第四张，共三十八张，创建于2022年，星期二

解:
说明: =2x+1来计算.

当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以
注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.
第五张，共三十八张，创建于2022年，星期二
解:
第六张，共三十八张，创建于2022年，星期二
解:
说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”
第七张，共三十八张，创建于2022年，星期二
例4
证 1） n=0时，显然成立
第八张，共三十八张，创建于2022年，星期二
练一练
求下列定积分
第九张，共三十八张，创建于2022年，星期二
练一练（解答）
第十张，共三十八张，创建于2022年，星期二
（三）定积分的分部积分法
定理
第十一张，共三十八张，创建于2022年，星期二

解:
第十二张，共三十八张，创建于2022年，星期二
两个重要结论
设f(x)在[-a,a]上连续，
(1)若f(x)为奇函数，则
(2)若f(x)为偶函数，则
证明(1)
第十三张，共三十八张，创建于2022年，星期二
例6
移项，得递推公式
第十四张，共三十八张，创建于2022年，星期二
如n=8
有公式
如n=7
第十五张，共三十八张，创建于2022年，星期二
利用上面结论，求下列定积分


提高题：
(1)用定积分求椭圆的面积？
(2)求证：
第十六张，共三十八张，创建于2022年，星期二
广义积分一、无穷限函数的广义积分*
定义 假设对 f(x) 在[a,b] 有定义且可积，
(1) 对于无[a,+∞]上的穷积分
如果 存在，我们称 收敛，
且定义：

否则，称 发散。
第十七张，共三十八张，创建于2022年，星期二
(2) 对于[-∞，b]的无穷积分
如果 存在，我们称 收敛，
且定义：

否则，称 发散。
第十八张，共三十八张，创建于2022年，星期二
（3）对于区间（-∞，+∞）的无穷积分　
如果 =A+B.
如果右边每一个无穷积分都存在，我们称 收敛，
如果其中之一不存在 ，则 发散。
第十九张，共三十八张，创建于2022年，星期二
例1 求
解 首先我们考察求
第二十张，共三十八张，创建于2022年，星期二
例2 讨论广义积分 的敛散性。
第二十一张，共三十八张，创建于2022年，星期二
例3 求广义积分 。
第二十二张，共三十八张，创建于2022年，星期二
二、无界函数的广义积分
第二十三张，共三十八张，创建于2022年，星期二
第二十四张，共三十八张，创建于2022年，星期二
定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.
例5 计算广义积分
解
第二十五张，共三十八张，创建于2022年，星期二
证
第二十六张，共三十八张，创建于2022年，星期二
例7 计算广义积分
解
故原广义积分发散.
第二十七张，共三十八张，创建于2022年，星期二
瑕点
解
例8 计算广义积分
第二十八张，共三十八张，创建于2022年，星期二
注意
广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但