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思维特训(十三)　相似与圆
方法点津 ·
对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．
典题精练 ·
类型一　圆的基本性质与相似的结合
E和△DCE中，
∴△ABE∽△DCE.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC＝r.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝45°，
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∴∠AOD＝∠DOC＝90°.
在Rt△ODC中，CD＝＝r，
∴＝()2＝()2＝.
4．证明：(1)如图，连接OC.
∵PC与⊙O相切，
∴OC⊥PC，
即∠OCP＝90°.
∵BD⊥PD，
∴∠BDP＝90°，
∴∠OCP＝∠BDP，
∴OC∥BD，
∴∠BCO＝∠CBD.
∵OB＝OC，
∴∠PBC＝∠BCO，
∴∠PBC＝∠CBD.
(2)如图，连接AC.
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°.
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
即BC2＝AB·BD.
5．解：(1)证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在的中点处，
∴＝，
∴∠AOF＝∠BOF＝90°.
∵∠ABC＝∠ABG＝90°，
∴∠AOF＝∠ABG，
∴OF∥BG.
∵AO＝BO，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF＝BG.
(2)在△FOE和△CBE中，
∴△FOE≌△CBE(ASA)，
∴BC＝FO＝AB＝2，
∴AC＝＝2 .
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如图，连接DB.∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ABC.
∵∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得DC＝.
6．证明：(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD.
∵E是AD的中点，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠D.
∵GB⊥AB，
∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝∠G.
∵∠DCB＝∠GCF，
∴∠GCF＝∠G，
∴FC＝FG.
(2)连接AC，如图所示．
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直径．
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACB＋∠DCB＝90°.
∵∠ACB＋∠CAB＝90°，
∴∠DCB＝∠CAB.
∵∠DCB＝∠G，
∴∠CAB＝∠G.
∵∠CBA＝∠ABG＝90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴＝，
∴AB2＝BC·BG.
7．解：(1)证明：如图，连接OC.
∵圆周角∠AEC与∠ABC所对的弧相同，
∴∠ABC＝∠AEC.
又∵∠AEC＝∠ODC，
∴∠ABC＝∠ODC.
∵OC＝OB，OD⊥BC，
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∴∠OCB＝∠OBC，
且∠OCB＋∠COD＝90°，
∴∠ODC＋∠COD＝90°，
∴∠OCD＝180°－∠ODC－∠COD＝90°，
即OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线．
(2)在⊙O中，OD⊥弦BC于点F，
∴BF＝CF＝BC＝2.
又∵OB＝